Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
у^2 —^ + у —і =о. (і)
1__/2 1+/2 Уравнение имеет действительные корни, если-2-< У <^ —^-• Знак jc.
Угол X имеет тот же знак, что и t = xgx (ибо — ^ < х < y)' пРоизведение
У_і 1 1_Y 2
корней уравнения (1) равно ^—^—, и их сумма у; значит, если -^— < У < О,
оба корня отрицательны и оба соответствующих значения х отрицательны; если
1 + /2
О < у < 1, знаки корней и, значит, знаки х противоположны; если 1 < у <-^-,
оба корня, а, значит, и оба значения х противоположны. 3°. Соотношение между ? и t". *'Г+ *' + *" = !. 4°. Выбору при условии tg2x' = tg2*'. Имеем
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
725
2Ї 2t"
- _- отсюда или Г = или 1 + /7" = 0. В первом случае мы имеем
1—Г1 1 —Г2
двойной корень: или у =-^-, что дает tg *' = tg х" = — (1 + / 2), или
у_ ^ 12 ^ ' что дает tg*' — ig*" = V2 — 1; во втором случае у = ™ и соответствующие значения tg*' и tg*" таковы: tg*' = 1+/2, tg*" = l—/2 или наоборот.
Глава XXX. Геометрические задачи с применением тригонометрии § 2. Решение треугольников
• D 0п,л-2 о ? —Л 1 + т Y2 ' В— А , лГъ
sin В = m, a = 2Ry\ — т2. 2. cos—^— — т—J--^—. 3. cos—-г-= т | 2.
z 1 — ml 1
4. sin Л = /2 —1. 5. sin (В - A) = ~ 1 7 m\ . 6. Sih2? = -^-. 7. cos (? — в) = v 7 3 1 + m2 с \ 4 J
= 2p~l . 8. ccos ^~ Л = 2r + C . 9. sin 2,B= sin 2Л = —. 10. b2 + a2 = c2; с У 2 2 /2 c2
6 определяется из уравнения 2cb2 — l2ab— cl2a = 0. 11. 62 = -^-(c? — m1^.
+ s/, = 0. 14. с = |-; a6 = 2s;
tir
12. sin ^-— — Л^= . 13. Катеты—корни квадратного уравнения /с*2—2s* /2 +
; л + b = •i / ¦i^- + 4s и т. д. 15. sin 2В == т2 — 2/и.
16. ctg 4 = ю —1. 17. sin2B = 4m. 18. cos = ^+"^2 - 19; sin 2A =
fe 2 2 2 (1 — m)
= 4/и(от + 1). 20. sin 2B = -2-. 21. sin 2B= l+^m . 22. sin 2B = m2 — 2m.
23. sin 25 = тї~~~~—vT - 24. a = 2/? sin A 25. b = J^7--. 26. a=l/" ^T^r • (1 — яг)2 sm C r sin # sin C
C CA
(a + 6) sin (a — 6) cos p sin -y
27-c =-J^b- 28-c =-T=IT' ™-а=—в-c-
cos —-- sin —2- cos ~2*cos ~2~
Л , 4 , A\ . 5 —C
Sin--
(/? — a) sin -^- Z0 sin (c +
30. a =-ъ-31.6 =-f—^-'-. 32. 6 = Г--.
B . C sin C a sin C
sin ~2 sin —
. sin A sin B + sin B sin C + sin C sin Л ОЛ 2r?zo sin A
33 a —- k _—_ 34 a '— '__•——
sin B sin C , ' Y2 sin2 B + 2 sin2 C — sin2 Л" о= r _ ha + hb__(6fl + /г^ + &g) sin Л_
о С А — В' sin В sin С + sin С sin Л + sin Л sin В '
2 cos ~2 cos —2--
,7 а-_И_І_ « а ГаС08^ Ча „ (Га+ rb + rc) sin А
37. а= Г. 33. а= -g- 39. а =
sin ¦y sin ~2 cos -g- cos — 211 + sin у sin у sin -g-J
k COS -^y- RT-- Л
sin Tsin-g- 7+l
6 — a hb
лл . B A .. t C-B hc A .. , B-C
726 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
А А
есть корень уравнения тх2 + 2х sin у = т cos2 у • 47' sin ^ = ^77*-
В—С А А В — С 48. cos —g— = т ctg у cos —. 49. cos —^--корень уравнения
9 В — С 0 В— С . Л Л
т cos2 —2--2 cos —?— sm Acos = т sin2 у -
?_(л
50. tg?— корень уравнения (2m—-1)tg2В—sin 2Л tg ?=2 sin2 A Ь\. 2mco$ =
А . 1 . т2п2 + п2 — т2 со . п2д2 + т2д2-*-т2п2 = 2msinT + —х. 52. cos Л =-^-. 53. cos А =--,
sin у
* С o + ^.Le?I- . е/> о (b2 — a2)(bm-\-a) . ~
54. ctg-77- =——r-tgA. 55. c = ak. 56. с2 =--=—^--—57. sin С = -,- .
ь 2 а — b 0 6m — а 6
58. sin? = ^. 59. sinC^-^f. 60. sin^ = -^. 61. cos ~ = -/g (* + b) .
я яб 2R 2 2ab
2 г 4a6 ab
65. *, = A. 66. с = ^?-. 67. ctg 4 = *±f tg 1. 68. - ас cos B + = ^.
69. 4ml = а2 + с2 + 2йс cos В. 70. m2 = а2 + ~- — де cos A 1\. b = 2R sin ?.
С В Л & / C \
72. r^gy ==>*&ctgy-~ д. 73. ctgy . 74. Z6-sin ( ? + у J ^ я sin ?.
BB I Ak2 \
75. ctg C = а-cosec у-/* ctg у. 76. tg C = tg B tg ^45° + arc tg -g-j.
_ Q JL
11. a cos (B — C) = 2/za sin Л — а cos Л. 78. a cos —^— = (?P — a) sin у •
79. a2 sin (B — C) = k2 sin A 80. a2 cos A cos (? — C) = ?2 sin2 Л — а2. 81. = x
b
определяется из уравнения (I — x) а2 = k2 (\ + x2 — 2x cos А). 82. 2a cos—-— =
k -.83. sin —у— = X-— корень уравнения 2л*sin у = ak ^cos2 у— x2^j.
COSy
0. /0 2?2 sin2 Л — a2 cos Л .. 4ma — a2 oe с a2
84. cos (B — C) ==-5-, где k2--= —j- . 85. -r = —ft~-* =
fl2 4 cos A b 4ml-2a2
1 + X2 — 2x cos A B-C , я In A \
= ——2x2 — \-* C0S-2—== x' xlas[n A = a\x2 — sin2yj.
B-C . Л . о Л оо B-Cn A A
87. л cos —?— = asm у +2r cos "2"- 88« a cos —2— ^ Га C0S 9-----asin ~y '
