Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
= 2 (/P1 + О/2) = 2OP1, а следовательно, 2a2 = 2OP2, откуда OP1= а. Точка P1 лежит поэтому на окружности (С) с центром О и радиусом а, а потому прямая (T1) касается линии второго порядка с фокусами F и F', для которой (С) — главная окружность. Эта вся линия является огибающей [это следует из 3°, а)]. Если с < а, то точки FnF' лежат внутри (С) и огибающая — эллипс. Если с > а, то точки FnF' лежат вне (С) и огибающая — гипербола. Если а = с, то окружность (С) проходит через точки G, G'у F, F'', а все прямые (T1)— это прямые, проходящие через одну из точек G или G'.
4°. Пусть G и G' — две фиксированные точки (GG' = d). Необходимое и достаточное условие того, что прямая (T) есть общая касательная к двум данным ортогональным окружностям с центрами G и G', имеет вид GH2 + G'H'2 = GG'2 = d2* где H и H' — проекции G и G' на (T). На основании предыдущего пункта, огибающая прямых (Г) есть линия второго порядка, фокусы которой FnF' получаются из точек G и G'у если произвести поворот вокруг О на угол 90°, где О — середина GG';
главной окружностью будет окружность с центром О и радиусом ~^ = FG. Эта
линия — эллипс, проходящий через точки G и G'. Точка T касания с эллипсом (E) прямой HH' получается так: пусть S — точка, в которой HH' пересекает FF', и St — касательная к главной окружности (С) эллипса (E). Точка T есть точка пересечения прямой HH' и прямой, проходящей через t параллельно GG'.
82. 1°. Пусть ABC — треугольник, удовлетворяющий условию. Обозначим через / середину АН, через л' — основание высоты, опущенной из А на сторону ВС, через (А) — прямую, проходящую через А перпендикулярно АН, и через
К— проекцию M на (А). Так как АН = 2OM, то AI= ОМ; четырехугольник OAIM — параллелограмм и, значит, MI=OA. Но OA = AAr = MK и, значит, IM = MK, т. е. точка M лежит на параболе (П) с фокусом / и директрисой (А).
632 Ответы, Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Обратно: точка M этой параболы будет серединой стороны ВС треугольника ABC9 удовлетворяющего условию задачи, если окружность с центром О (который опре-
деляется соотношением МО = /А), проходящая через А, пересечет перпендикуляр к OM в точке M1 т. е. если OA > OM или IM > IA1 иначе — если точка M лежит вне окружности с центром / и радиусом IA. Эта окружность пересекает параболу (II) в точках и р/\ расположенных на перпендикуляре к IA в точке /. Таким образом, геометрическое место точек M состоит из двух дуг параболы (II), которые расположены в той же полуплоскости от fi-V'» гДе лежит H (у.' и [а" не входят в это геометрическое место).
2°. Из соотношения МО = IA следует, что геометрическое место центров О окружностей, описанных вокруг треугольника ABC1 получается из геометрического
места точек M переносом IA. Если (D) прямая, в которую перейдет (А) при этом переносе, то геометрическое место центров О состоит из двух дуг параболы (P) с фокусом А и директрисой (D)1 расположенных по отношению к (Д) в той же полуплоскости, где лежит Н. Отсюда следует, что окружность (О) все время касается прямой (D). Если т' и т" — проекции р' и \l" на (D)1 то огибающая состоит из частей прямой (D)1 которые мы получим, удалив из нее отрезок т'т"'..
84. Г. Для построения точки M надо на луче HM1 от точки H отложить отрезок HM1 равный стороне квадрата с диаметром HM1. Геометрическое место точек M есть эллипс (E)1 для которого (С) — главная окружность, A1 А' — вершины, лежащие на фокальной оси. Касательные к (С) и (E) в соответствующих точках M1 и M пересекаются в точке T1 лежащей на AA'. Далее, пусть прообразом .S будет точка Sj, а прообразом /—точка Z1; очевидно, прямая OS1 делит M1S пополам; это сохраняется и после сжатия. Полюс M' прямой MT относительно (С) расположен на поляре точки T1 т. е. на прямой MH. С другой стороны, точки M и M' гармонически сопряжены с точками M1 и M21 в которых прямая HM пересекает (С);
следовательно, HM »HM' = HMu и так как HM = ^l- то ^= V 2, т. е.
1 У 2 HM1
точка M' из M1 получается в результате сжатия к А'А с коэффициентом Y 2. Значит точка M' описывает эллипс (E') с большей полуосью a Y 2, для которого (С) — второй главный круг. Касательная к (E') в точке M' есть прямая М'Т; значит, поляра M относительно (С). Для построения фокусов эллипсов (E) и (E') надо в первом случае вписать в (С) квадрат со стороной, параллельной AA'; стороны, перпендикулярные AA'у пересекут этот диаметр в фокусах F и F'. Для построения фокусов (E') надо описать квадрат вокруг (С) со стороной, параллельной AA'; стороны, параллельные AA'f пересекут медиатрису AA' в фокусах фиф' эллипса (E'). 00 HM KI HM KL HM2 1 /,V п лл
2' 77J = KA 9 НА' = KA'' отсюда HA-HA' = ПУСТЬ -~чка
пересечения луча HM с (С). Тогда НМ\ = НА - НА и на основании (1) HM 1 п тіл», оттлл HM' _/--
ТїМі= Y^' е' = и'значит'
3°. M'H и A'L — две высоты Д A' M' A1 значит третья высота AM; A'Q А = 90° и Q описывает (С). Полюс S прямой AL относительно (С) есть точка, в которой прямая (D) пересекается с касательной к (С) в точке L. Так как SL = SA1 то S есть точка пересечения с (D) медиатрисы AL с гипотенузой AP прямоугольного треугольника ALP1 значит AS = SP. Прямая OS\\A'P, а так как S — середина AP1 то точка N пересечения OS и AM есть середина AM. Мы видели (1°), что точка, в которой касательная к эллипсу (E) в точке M пересекает (D)1 есть прямая, соединяющая О с серединой N отрезка AM1 т. е. S. Значит геометрическое место точек пересечения касательных в L к (С) и в M к (E) есть прямая (D). Пусть P' — точка, в которой прямая AM' пересекает касательную (D') к (С) в А', и пусть J—точка, в которой прямая A'M' пересекает LK Так как / — середина L1 то M — середина HM' и, значит, L — середина HM'. Значит точка M' может быть, исходя из точки P'', построена так: строим KJ — 2KL; пересечение AP' и AJ есть M'. Мы видели (Г), что касательная к (E') в точке M' есть поляра M относительно (С). Касательная в L к (С) есть поляра L относительно (С). Точка пересечения этих двух прямых есть, следовательно, полюс ML; но полюс ML есть точка S' пересечения касательных (D') и LS к (С). Но S — середина AP1 значит S' — середина A'P' и, значит, точка S' — точка пересечения касательных в L к (С) и в M' к (E') описывает целиком (D'), когда P' описывает целиком (D'). Далее, AP- А'Р' = 2AS-2A'S' = 4AS- A'S' = 4LS LS'. Но Z_A'L А = 90° и OS J_ A9L nOS± AL; значит, /. SOS' = 90°, поэтому LS • LS' = OL2 = а2, а следовательно, AP - А'Р' = 4а2. Огибающая SS' есть окружность; значит, огибающая PP' есть эллипс (PP' и SS' пересекаются на AA'; PP' из SS' получается в результате сжатия к AA' с коэффициентом 2), полуоси которого а и2а; прямые AA' и медиатриса этого отрезка его оси симметрии; окружность (С) — вторая главная его окружность.
