Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
TZ
отрезка Ясо'; если 0 < 8 < , то окружности (О) огибают окружность (E)1 окружающую со', причем точка Я лежит вне этой окружности (Е); значит, геометрическим местом О будет гипербола с фокусами Я и ? и направляющей окружностью (E).
Y) Точка P лежит внутри (to). Рассмотрим несколько случаев в зависимости от величины 8.
Yi) р cos О > 2d. Окружности (О) огибают окружность (E)1 окружающую Р; геометрическое место их центров есть эллипс с фокусами Я и E и направляющей окружностью (E); если 8=0, то геометрическое место точек О есть сама окружность (со).
Y2) P cos 0 < 2d. Окружности (О) огибают окружность (E)1 окружающую со', и, следовательно, точка Я лежит вне окружности (E). Геометрическое место их центров будет гипербола с фокусом P и направляющей окружностью (E).
Ys) P cos o = 2d. Окружности (О) огибают медиатрису ' отрезка Ясо'. Геометрическое место их центров — парабола с фокусом Я, директрисой которой служит указанная медиатриса.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
637
87. 1°. Пусть (d) и (dr) — две прямые, проходящие через точку а и такие, что (d9 d') = ~ . Обозначим через в и С точки, в которых эти прямые пересекают прямую (А), через о — центр окружности (Г), описанной вокруг треугольника abc, и через н— проекцию точки о на (А). Тогда (ob, ос) = 2 (ab, ac) = = у (mod 2тс); треугольник вос, следовательно, равнобедренный и прямоугольный,
а потому = или ^ = У"2; значит, точка О находится на равносторонней
гиперболе (ZZ1) с фокусом а и соответствующей директрисой (А). Обратно: пусть q — какая-нибудь точка, лежащая на гиперболе (/Z1), h—ее проекция на (А), а в и с — точки встречи (А) с окружностью, проходящей через а с центром О.
Из соотношения = У2 или = У"2 следует, что Д boc прямоугольный и .
равнобедренный; значит, при соответствующем обозначении точек в и с, (ob, ос) = = у (mod 2тс) и потому (ab, ac) = ¦^-. Таким образом, геометрическое место
точек О есть гипербола (/Z1) в целом. Центр Z этой гиперболы — точка, симметричная а относительно (А).
Замечание. Если (d')||(А), с — бесконечно удаленная точка, в совпадает тогда с точкой b1, в которой (А) пересекается с одной из асимптот, окружность (О) вырождается в прямую abx, а ее <центр:> — бесконечно удаленная точка в направлении одной из асимптот. Аналогично, если (d) || (А). Огибающая (г) есть окружность радиуса 2d}T2 с центром в точке f, которая симметрична точке а относительно Z. Геометрическое место центров со окружности девяти точек, треугольника abc находится так: пусть а, ?, 7 — середины вс, ca и ab, а а' — проекция а на (А). Если (d) и (D') меняются, точки ? и у описывают прямую (5),
полученную из (А) гомотетией (а, у^. Далее (a?, a-y) = (d1 d') = (mod тс).
Точка а' лежит на окружности (a??); значит, (^'?, a'i) = (a?, a?) = (mod тс).
Таким образом, точка со окружности (а'у$) определяется по отношению к Л' и (ь) точно так же, как точка О по отношению к Л и (А); значит, со описывает равностороннюю гиперболу с фокусом а' и директрисой (ь).
Геометрическое место В' и С. Треугольники abb' и acc прямоугольные ab' ac 1
равнобедренные, значит -=-= —=¦. От точки в мы переходим к точке в'
ab ac V 2
при помощи поворота вокруг точки Л на угол и последующей гомотетии с коэффициентом • От точки CkC мы переходим при помощи поворота на
угол —j и последующей гомотетии с коэффициентом it="» Геометрические
места точек в' и С, следовательно, будут образы (А) в указанных преобразованиях: это прямые А'х и Л'у, проходящие через А' и такие, что
(А, а'х) = ~, (А, Л'у) = — ~ [биссектрисы углов между aa' и (A)J. Далее, а'в' и а'с (т. е. а'х и Л'у) фиксированы; точка Л служит центром окружности, касающейся этих прямых, и она касается В'С ^эта окружность и будет огибающей в'с, ее радиус ~!~У
2°. Пусть Л7* и at — касательные в точке Л к окружностям (M) и (M'). Тогда (at, at') = (at, ab) + (ab, ac) + (ac, at') (mod тс) = = (ab, bc)+ (ab, ac) +(вс, ac) (mod тс) = (ab, ac)+ (ab, ac) (mod тс) =
= 2 (ab, ЛC)(mod тс) = у (mod тс). Точки MnM' описывают целиком параболу
с фокусом Л и директрисой (А).
Геометрическое место точек Р. Произведем инверсию (Л, аа'2)\ прямая (А) перейдет в окружность (aa'), а точка P — в точку P'. Окружности (M) и (M) перейдут в две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке P' и касающиеся окружности (aa'). Значит геометрическое место точек P есть окружность (Q'),
638 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
описанная вокруг квадрата, описанного в свою очередь вокруг (ЛЛ'); будем считать, что одна из сторон UV этого квадрата лежит на (A) (A' — середина UV). Геометрическое же место P будет окружность, полученная из (Q') инверсией (A1 AA'2); центр этой окружности лежит на AA') одна из ее точек К есть, очевидно, точка пересечения UA с (AA'), другая 5 есть точка пересечения стороны квадрата, противоположной UV1 с А'К. Далее, MM' — медиатриса АР; так как P описывает окружность (Q)1 внутри которой лежит точка A1 то эта огибающая есть эллипс, для которого (Q)— направляющая окружность, ,относящаяся к другому фокусу. Докажем, что окружность (BCP) проходит через фиксированную точку: пусть Q — вторая точка пересечения прямой AP с окружностью (BPC) и L — точка пересечения_ЛР и (А) С^середина ВС)упые&м иВ-І€=Т^'LQ или LP ZQ = —Z?2, а так как LB2 = LP • LA1 то LQ = — LA; следовательно, точки QnA симметричны относительно L и, значит, относительно L симметричны и окружности (PBC) и (ABC). Отсюда следует, что эти окружности симметричны относительно (А), а потому окружность (PBC) проходит через точку I1 симметричную точке А относительно (А), т. е. через центр / гиперболы (H1).
