Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Пусть (А) — директриса параболы (P), a M и M' — точки пересечения с параболой (P) двух взаимно-перпендикулярных полупрямых, проходящих через точку F. Окружности с центрами M и M', проходящие через (F)1 ортогональны между собой и касаются (А) в точках В и С. Мы приходим к конфигурации 2° (теперь F вместо А). Пусть А' — проекция А на (А), а К — проекция F на MM'; P — вторая точка пересечения окружностей (M) и (M'). Геометрическое место точек P есть окружность (Q)1 полученная инверсией (F1 FA'2) из окружности, описанной вокруг квадрата, который описан вокруг окружности с диаметром AA't
а геометрическое место точек К есть образ (Q) в гомотетии ^F1 -i^. Огибающая MM' — эллипс с фокусом F [(Q) — направляющая окружность, относящаяся к другому его фокусу].
4°. Обобщение на случай какой-нибудь линии (Г) второго порядка и
угла « ф ~.
Первый случай: (Г) — центральная линия. Пусть M и M' — две точки (Г)
такие, что (FM1 FM') = а; р и р' — точки прикосновения направляющей окружности (F') с центром F' с окружностями (M1 MF) и (M', M'F)1 у— вторая точка пересечения этих окружностей и P — ортогональная проекция F на MM' (P — середина Fy). В инверсии с полюсом F [которая переводит в себя окружность (F')] окружности (M1 MF) и (M', M'F) переходят в касательные к окружности (F') в точках Г и Г, в которых эту окружность вторично пересекают прямые Fp и Fp'. Эти касательные пересекаются в точке у', являющейся образом у в указанной инверсии (/). Теперь рассмотрим два подслучая:
а) (Г) —эллипс. Векторы FM и F'T тогда будут параллельны и противоположно направлены, так же как и векторы FM' и F' T, значит (F'Т, F' T) = а и Ту'T = % — а. Точка у' принадлежит поэтому окружности (у) с центром F'
2а ^ м ,
и радиусом р =-. Эта окружность описывается точкой у целиком, так как
cos"2" _ _ _
при полном обороте угла (FM, FM') вокруг точки F угол (F' Т, F'T) делает полный оборот вокруг F'. Геометрическое место точек у есть образ окружности (у') в инверсии (/), т. е. тоже окружность (у). Геометрическое место точек P есть
окружность (P)1 гомотетичная (у) в гомотетии ^F, . Точка F лежит внутри (у'),
а значит и внутри (у) и (P). Огибающая MM', следовательно, — эллипс, для которого (P) — главная окружность, а (у) — направляющая окружность, относящаяся ко второму фокусу.
б) (Г) — гипербола. Пусть а и v — точки прикосновения к (F') касательных, проведенных к (F') из F1 a u' п v' — точки прикосновения тех же касательных к главной окружности линии (Г). Если точки MnM' лежат на одной ветви (Г), которая окружает F, то р и р' лежат на дуге usv окружности (F)1 более близкой
к F; в таком случае точки TnT лежат на дуге us'v окружности (F'). Векторы F'T
и FM, а также F'T' и FM' параллельны и одинаково направлены и, значит, 2, TyT = ть — а. Точка у' лежит, следовательно, на той дуге окружности (у') с центром F' и радиусом р' =-, которая лежит внутри угла uFv и которая ближе
COS-J
к F. Обратно: всякой точке у' этой дуги соответствуют точки MnM' одной
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 639
ветви (Г), окружающей F, и такие, что (FM, FMr) = а. Если MnM' обе принадлежат ветви (Г), окружающей F', то fx и fx' лежат на дуге us'v; значит, TnT находятся на дуге usv окружности (F'), поэтому Гер'T = тс— а и <р' лежит на дуге (ср'), внешней для угла uFv или для угла, вертикального с углом uFv. Верно и обратное. Наконец, если точка M принадлежит дуге, окружающей F, а ЛГ (ее будем тогда обозначать M1) принадлежит ветви, окружающей F', то fx лежит на дуге usv, [i' — на дуге us'v, значит T — на дуге us'v, V — на дуге usv и потому Ту'Т' = а. Соответствующая точка Cf1 лежит на одной из дуг окружности (у'Л
*2,CL
с центром Fr и радиусом -, внешней для угла uFv или для угла, вертикаль-
81птг
ного с углом uFv. Верно и обратное. Окончательно: геометрическое место точек с/ состоит из дуг окружности (ср'), внутренних углу uFv или углу, с ним вертикальному, и дуг (Cf1), внешних для этих углов. Отсюда следует, что геометрическое место точек ср состоит из дуг окружностей (ср) и (Cp1), полученных инверсией (/) из указанных дуг окружностей (ср') и (cpj). Дуги (ср) вырождаются в отрезок u'v't если (ср') проходит через F; дуги (Cp1) вырождаются в часть прямой, внешнюю относительно отрезка u'v'y если (Cf1) проходит через F. Геометрическое место точек P получается из геометрического места точек ср гомотетией (f, и, значит, состоит из четырех дуг окружностей, которые могут, в частности, вырождаться в отрезок или полупрямые. Огибающая (E) прямых MM' поэтому состоит из дуг линий второго порядка с фокусом (F), для которых главными окружностями (или прямой) являются окружности, носящие на себе геометрическое место точек P (или касательная в вершине в случае параболы). Исследуем, наконец, тип огибающей прямых MM'. Обозначим через Q угол uF'v между асимптотами (E). Тип огибающей будет зависеть от положения точки f относительно окружностей (ср') и (cpj). Следует рассмотреть несколько случаев в зависимости от взаимоотношения величин O, а и ~.
