Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
5°. Вычисление угла от LN до MP. На основании теоремы Шаля имеем
(LN, MP) = (LN1 LI) + (Li, MI) + (MI, MP), (1)
а также (LN, MP) = (NL, PM) = (NL, NI) + (NI9 PI) + (PI, PM), а так как треугольники LIN и МІР равнобедренные, то
(LN, MP) = — (LN, LI) + (Ni, PI) — (MI, MP). (2)
Складывая почленно (1) и (2), получим 2 (LN, MP) = (/./, MI) + (Ni, PI); но Li, All, Ni, PI соответственно перпендикулярны BA1 BC1 DC1 DA; значит, 2 (LN, MP)= ~-=(ВА, ВС) + (DC, DA); но ABCD — вписанный четырехугольник, значит (BA, BC) = (DA9 DC), а потому 2(LN9 MP) = (DA, DC)+ (DC, DA)=O (все
/2 тс
с точностью до kit) и потому 2 (NL, MP) = п%, (NL, MP) = -у. Так как прямые NL и MP не имеют одного направления, то п нечетное, иначе LN j_ MP. Но прямые LN и MP образуют с AC и BD гармонический пучок; значит, LN и MP — биссектрисы углов между AC и BD.
Существование эллипса (E). Существование эллипса (E) (с фокусами / и со) было установлено в п. 1°.
6°. Существование бесконечного множества четырехугольников, вписанных в (О) и описанных вокруг (/). Проведем через точку со две какие-нибудь взаимно-перпендикулярные прямые; пусть /, л, т, р — точки, в которых они пересекут окружность (/) и пусть abed — четырехугольник, образованный касательными к окружности (/) в этих точках. На основании сказанного выше, точки а, Ь, с, d будут оставаться на фиксированной окружности, в то время как две взаимно-перпендикулярные прямые, проведенные через со, будут вращаться вокруг ш. Эта
40 П. С. Моденов
626 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
фиксированная окружность есть не что иное, как (О), так как если In и тр совпадают соответственно с LN и MP, то точки а, Ь, с, d совпадают соответственно с А, В, С, D. Итак, переменный четырехугольник abed постоянно описан вокруг (/) и вписян в (О).
Существование бесконечного множества четырехугольников, вписанных в (/) и описанных вокруг (E). Переменный четырехугольник lmnp на основании п. 1° таков, что его стороны постоянно касаются одного и того же эллипса с фокусами / и со. Так как этот четырехугольник lmnp может совпасть с LMNP, то этот эллипс и есть эллипс (E). Переменный четырехугольник lmnp постоянно вписан в (/) и списан вокруг (E) (черт. 224).
Соотношение между /?, г и d. На основании п. 1° окружность (Г) есть направляющая окружность эллипса (E) и может быть получена из окружности (О)
при помощи инверсии (/, г2). Гомотетия
^/, Г ^ , так же как и инверсия (/, г2),
преобразует (О) в (Г). Поэтому отношение радиуса р окружности (Г) к радиусу R окружности (О) равно абсолютной величине
коэффициента гомотетии ^1, [_ ^ » т-е*
P - г2 - г2 (3)
f> - \d2 — R21 "~ R2 — d2 ' • w
Это самое отношение равно отношению расстояний от центров QnO этих окружностей до центра / гомотетии
1.-ISl-R (4)
R- IO d • KV
Выше мы имели
или
4р2 + /со2 = 2г2. (5)
Исключая р и IQ из соотношений (3), (4) и (5), найдем искомую зависимость между R, г и d:
2r2 (R2 4- d2) = (R2 — d2)2.
78. Г. Произведение (С) (В) (А) Черт. 224. есть тождественное преобразование.
Пусть С — образ С в преобразовании поворота (А, а). Точка С расположена на окружности (А, АС). Для того чтобы поворот (В, ?) возвращал точку С в положение С, необходимо и достаточно, чтобы точка С' была расположена на окружности (В, ВС). Эти две окружности имеют одну общую точку С, значит С — их вторая точка встречи (черт. 225). Таким образом, точка С симметрична точке С
относительно прямой AB. Значит, а = (AC, AC') = 2 (AC, AB), ? = (BC', ВС) =
=2 (BA, ВС) (с точностью до 2kn, где k — любое целое число). Так как углы а и ?
определены с точностью до 2&ТС, то в этих равенствах (AC, AB) и (BA, ВС) можно заменить соответственно на (AC, AB) и (BA, ВС), так как эти углы определены с точностью до Ы, но перед ними стоит множитель 2. Если а и ? определены так, как было указано, повороты (А, а) и (В, ?) совпадают с теми, которые в условии задачи обозначены через (А) и (В). Так как при всяком вращении вокруг точки С она остается на месте, то произведение (С) (В) (А) оставляет точку С на месте и, значит, это произведение есть вращение вокруг точки С. Угол этого вращения, на основании теоремы Шаля, равен 0 (с точностью до 2kn), так как 2 [(AC, AB) + + (BA, ВС) + (CB, CA)] = 0 (с точностью до 2Ы). Поэтому (С) (В) (А) каждую точку плоскости оставляет на месте.
2°. а) Углы (RP9 RP') и (RQ, RQ') постоянны. Окружность (о/) может быть получена из окружности (со) вращением (Ru, Ro)'). Пусть P и Q — точки, в которых окружность (со) пересекается с какой-нибудь окружностью с центром в R (черт. 226). Их образы P' и во вращении (Rw, Ru') суть точки, в которых окружность (со7) пересекает рассматриваемую окружность с центром R. Таким образом, (RP, RP') = (/?*>, Ro,') и (RQ, RQ') = (/?ш, /&>').
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 627
б) Геометрическое место середины / отрезка PP'. Прямое подобие с центром R, которое точку P преобразует в середину / отрезка PP', переводит точку со в середину О отрезка coco'. Значит, геометрическое место точек / есть образ геометрического места точек P в указанном подобии. Но геометрическое место точек P есть окружность (со); значит, геометрическое место точек / есть окружность, полученная из окружности (to) указанным подобием, т. е. окружность, построенная на RS как на диаметре.
