Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
в) Прямая PP' или QQ' проходит через фиксированную точку. Так как PP' J_ R', то PP' проходит постоянно через точку S; аналогично QQ' проходит также через S.
3°. а) Угол (М'М, M'Al") в функции (Al'А, М'В). На основании теоремы Шаля (М'М, M'AS) = (M'M9 M'A)+ (M'A, M'В)+ (M'В, М'М") Пусть / и /" — середины М'М и M'М" тогда (М'М, М'М") = (М'М, AI) + (Al, M'А) + + (M'A, M'В)+ (M'В, Bi")+ (Bi", ATM"); но так как AM' = AMn (AM, AM') =
= 2 (АС, AB), то (М'М, AI) = ^ и (Al, M'A) = (AI, AM') = (АС, AB). И далее,
Черт. 225. Черт. 226.
из соотношений BM" = BM' и (BM', BM") = 2 (BA, ВС) имеем (М'В, BF) = = (BM', ВГ) = (BA, ВС) и (BF, М'М") = ~. Соотношение, написанное выше,
принимает вид (AYМ, М'М") = -| + (AC, AB) + (M'А, М'В) + (BA, ВС) + ~, или
(М'М, M'M") = (AVA, AVВ)+ (AC, AB) + (BA, ВС)+к. На основании теоремы Шаля (AC, AB) + (BA, ВС) = (АС, ВС) = (СА, CB); слагаемое тс можно опустить, так как все эти равенства имеют место с точностью до kn. Итак, (М'М, ММ") = = (M'А, М'В) + (СА, CB).
б) Геометрическое место точек M'. Для того чтобы точки М, M' и М" лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы (M'А, М'В) + + (СA, CB) = O, откуда (M'А, М'В) = —(СА, CB). Из этого равенства следует, что точка AV должна быть расположена на окружности (Г), симметричной окружности, описанной вокруг треугольника ABC относительно стороны AB.
в) Геометрическое место точек M и М". Круговой перестановкой букв A1 В, С и M1 Ai', Al" заключаем, что для того чтобы точки М, M' и AV лежали бы на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы точка М" лежала на окружности (Г"), симметричной окружности, описанной вокруг треугольника ABC относительно стороны ВС, или чтобы точка Al лежала на окружности (Г), симметричной окружности, описанной вокруг треугольника ABC относительно стороны Сл.
г) Прямая MM'М" проходит через фиксированную точку. Окружности (Г) и (Г ) равны и пересекаются в точке А. Точки M и AV, расположенные соответственно на этих окружностях, соответствуют друг другу [так же, как и точки P и P' окружностей (со) и (со') в преобразовании вращения с центром R, которое преобразует (со) в (со') [см. 2°, в)]. Отсюда следует, что прямая MM' проходит постоянно через вторую точку, общую окружностям (Г) и (Г').
д) Характеристика точки, через которую проходит переменная прямая ММ'М". Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг треугольника; значит, окружности (Г), (Г'), (Г"), симметричные окружности, описанной вокруг треугольника ЛВС относительно сторон этого треугольника, проходят через ортоцентр треугольника ЛВС —такова фиксированная точка, через которую проходят прямые MM'.
79. Г. Построение пары (M9 M'). Обозначим через AF точку, симметричную точке M' относительно OA. Точки А, Al к М" должны лежать на одной прямой, и из соотношения AM-AM' = Ь2 следует, что AM - AAF = гЬ2 (в = ± 1). Иначе говоря, точки M и М" соответствуют друг другу в инверсии (А, гЬ2). Отсюда следует, что пара точек (Af, Ai') есть пара точек, общих окружности (L) и прямой,
40*
628 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
которая получается из (Z) в результате преобразования, являющегося произведением инверсии (A1 гЬ2) на симметрию в OA (это произведение коммутативно). Две инверсии: (A1 Ь2) и (A1 — Ь2), предшествующие или следующие за симметрией в OA1 преобразуют (L) в две прямые: (L1) и (L2), параллельные касательной к окружности (L) в точке О. Каждая из этих прямых (Lx) и (L2), если только они пересекают (L)1 дает решение (M1 M') вопроса.
Исследование. Обозначим (черт. 227) через L центр окружности (L), через
/ — радиус (L). Пусть (OA1 OL) = 6. Достаточно рассмотреть значения 6 в интервале (о, , так как значения 6 из интервала
(— \ 9 ®) соответствУют окружностям, симметричным относительно OA. Предположим, что Ь > 0. Пусть Ax — проекция А на ось OL. Радиус / окружности (L) равен / = 0 ^ fl и OA1 = a cos О
2 cos 6
В инверсии (A1 гЬ2) (предшествующей или следующей за симметрией в OA) прямая, в которую переходит (L)1 будет находиться от А на расстоянии d, определяемом из равенства
d —^77- = гЬ2. Следовательно, алгебраическая вели-
COS 0
чина расстояния от прямой (Z1) до (О) на оси OL есть
Черт. 227. ?2C0sQ a2 — b2 й
dx = a cos 8--=-cos O и до (L2)
Q , b2 cos б а2 + b2 0 _ ... ,,f\
есть d2 = a cos 6 -j---— = —^— cos 0. Прямая (Lx) дает решение (Al1, Al1J, если
dx > 0, т. е. а > Ь, а прямая (Z2) дает решение (M21 Af2), если d2 < ¦ ^ ^, откуда
Ъ < я tg 0 (и обратно). Таким образом, мы видим, что, если а < Ь, пара (Af1, Af1) не существует; если а = Ь, точки Af1 и Af1 сливаются с О; если а> Ь, пара (Al1, Af1) существует и точки Af1 и Af1 расположены при этом по разные стороны от OA1 ибо из условия а > b следует, что (Z1) пересекает отрезок О А; таким образом, OA есть биссектриса угла между лучами .4Af1 и ^Af1. Далее, если b > atgb, пара (Af2, Af2) не существует. Если b = atg0, точки Af2 и АІ^ховпадают с точкой окружности (L)1 диаметрально противоположной точке О; если b < a tg б, пара (Af2, Af2) существует, обе точки Af2 и Al2 расположены по одну сторону от АО; биссектриса угла между лучами AM2 и ^4Af2 перпендикулярна АО. Итак, если b больше наибольшего из чисел а и a tg 6, никакой пары (Af, Af') не существует; если b заключено между а и a tg 0, одна из таких пар существует; если b меньше наименьшего из чисел а и a tg 0, обе пары (Af1, Af1) и (Af2, Af2) существуют. Во всем дальнейшем мы предположим, что b < а и будем рассматривать только тот случай, когда OA есть биссектриса угла между лучами AM и AM'. Предыдущее исследование показывает, что пара (Af1, Af1) всегда существует (а > Ь); именно эту пару мы будем обозначать просто через (M1 АГ).
