Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Фиксированная точка / прямой AfAf'. Прямая AfAf получается в результате инверсии окружности, симметричной (Z) относительно OA. Последняя окружность проходит постоянно через точку O1 а значит прямая MM'у которая получаете^ из нее инверсией (A1 Ь2), проходит постоянно через точку / такую, что АО - AI = б2. Эта фиксированная точка расположена между А и O1 причем
Al:
Ь2
(черт. 228).
Геометрическое место точек M и M'. OL есть ось симметрии для AfAf', значит OAf = OAf'. Рассмотрим окружность с центром О и радиусом OAl. Прямая AlAl' — радикальная ось этой окружности и окружности (Z). Точка I имеет постоянную степень относительно пучка окружностей; значит, она имеет постоянную степень и относительно окружности (О, OAf); центр О этой окружности фиксирован; значит, радиус ее постоянный [не зависит от (Z)]. С другой стороны, если (Z) меняется, AfAf' принимает все направления вокруг О. Значит, геометрическое место точек MnM' есть окружность (9.) с центром О радиусом OAf — в целом. Пусть
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 629
Черт. 228.
М" — точка, симметричная с точкой Af относительно OA1 тогда AM • AM" = b% так как точка М" лежит на окружности (Q), то этим выражением дается степень Q (А) точки А относительно (Q). С другой стороны, Q (А) = а2 — R2; значит, R2 = а2 — Ь2, где R — радиус (Q). Мы видим, что точка А лежит вне окружности (Q).
Огибающая прямых <лМ, wAf, аМ и <*М'. Так как Осо есть диаметр (L)1 то углы OAfco и OAf'со прямые; следовательно, прямые coAf и соАГ касаются (Q) соответственно в точках M и M'. Огибающей этих прямых является, следовательно, окружность (Q). Далее, Aa есть диаметр (L)1 a M и AT — ортогональные проекции Л на aAf и аЛГ. Как мы видели, точка А лежит вне окружности (Q); значит, огибающая прямых аМ и аМ' есть гипербола с фокусом Л и главной окружностью (Q). Заметим, что I есть основание поляры точки А по отношению к (Q); значит, точка / принадлежит директрисе гиперболы, соответствующей фокусу А; это дает возможность по-
строить точки прикосновения У
прямых аМ и аМ' к гиперболе (отрезок касательной, ограниченный точкой прикосновения и точкой директрисы, виден из соответствующего фокуса под прямым углом); так как аМ и aM' одинаково наклонены к Oa1 то точки касания расположены симметрично относительно Oa.
Огибающая прямых, симметричных MM' относительно <о и относительно а. Касательная в точке со к окружности (L) огибает параболу с фокусом O1 касательная в вершине которой есть прямая АХ, перпендикулярная АО в точке А (геометрическое место точек со). Так как прямая, симметричная MM' относительно со, есть прямая, гомотетичная этой касательной в гомотетии (/, 2), то огибающая прямых, симметричных MM' относительно со, есть парабола с фокусом
О' (1O' = 210) и вершиной A' (IA' = 21 А). Касательная в точке а к окружности (L) огибает параболу с фокусом A1 касательной в вершине к которой служит прямая, перпендикулярная АО и проходящая через точку О (геометрическое место точек а). Прямая /, симметричная этой касательной по отношению к OY, огибает, следовательно, параболу, касательная в вершине которой есть OY1 а фокус А" — точка, симметричная точке А относительно О. Прямая, симметричная MM' относительно <*, параллельна / и получается из / в результате гомотетии (F1 2); значит, огибающая прямых, симметричных MM' относительно а, есть парабола с фокусом в точке
S (IS = 2ҐА") и вершиной О' (/O' = 2Ю).
3°. Внешние и внутренние биссектрисы углов треугольника AMM'. Окружность вписанная и окружности, вневписанные в треугольник AMM'.
АО и Лео — две биссектрисы угла А. Окружность (Q) пересекает прямую АО в точке J, расположенной между А к O1 являющейся центром окружности, вписанной в треугольник AMM', и в точке J', внешней для АО, служащей центром окружности, вневписанной в угол А треугольника AMM'. Другие биссектрисы углов треугольника AMM' суть MJ, M'J1 MJ' и M'J'. Эти прямые пересекают AX в центрах PwQ окружностей, вневписанных в углы M и M'. Так как PMQ = — PM'Q' — 90э, то точки P и Q лежат на окружности радиуса coAf с центром оз. Мы видим, что центры вписанной окружности и вневписанной окружности в угол А суть фиксированные точки J и J'. Центры же P и Q окружностей, вневписанных в углы M и M', описывают прямую АХ.
Биссектрисы внутренних й внешних углов треугольника О.ММ'. Вписанная окружность и вневписанные окружности в треугольник %ММ'. Точка а списывает прямую OY, и биссектрисы угла а суть аО и шо; аО — биссектриса внутреннего угла, асо — внешнего. Окружность (Q) пересекает аО в двух точках: J1 и J1] точка J1 — внутренняя для аО, служащая центром окружности, вписанной в треугольник О.ММ', а точка j\ — внешняя для аО, служащая центром окружности, вневписанной в угол а. треугольника аММ'. Это фиксированные точки. Другие биссектрисы углов треугольника аММ' суть Al \, Al1J11 AiJ1 и Af7Zj. Биссектрисы AfV1 и Mj[ пересекаются в точке I1 а биссектрисы AlV1 и AlJ1 — в точке А';
630 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
