Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а) б < ~, следовательно Л uFv > ~. Если б < а < те — б, то f лежит
внутри (ср') и (cpj), значит внутри (ср) и (Cp1), огибающая состоит из четырех дуг эллипсов. Если а < б или а > тс— б, то F лежит внутри одной из окружностей (ср') (ср^ и вне другой, значит внутри одной из окружностей (ср), (Cp1) и вне другой. В этом случае (E) состоит из двух дуг эллипсов и двух дуг гипербол. Если а = б или а = тс — б, то f лежит на одной из окружностей (cp'), (Cp1) и внутри другой; значит, (E) состоит из одной (или двух) дуг парабол и двух дуг эллипса.
P) 6 > Y' слеД°вательно» Z uFv < Y' ^сли п — б < а < б, то F вне (ср') и (Cf1), значит вне (ср) и (^1), а потому (E) состоит из четырех дуг гипербол. Если а < тс — б или а < б, то F — вне одной из окружностей (cp'), (cpj) и внутри другой, значит вне одной из окружностей (ср) и (Cp1) и внутри другой; (E) состоит из двух дуг эллипса и двух дуг гиперболы. Если а = тс — б или а = 6, то F лежит на одной из окружностей (cp'), (cpj) и вне другой; значит, огибающая прямых MM' состоит из одной (или двух) дуги параболы и двух дуг гиперболы.
Y) б = . Если а Ф ~ , то f лежит внутри одной из окружностей (cp'), (cpj)
и вне другой, значит внутри одной из окружностей (ср), (Cp1) и вне другой. Огибающая (E) прямых Mm' состоит из двух дуг эллипса и двух дуг гиперболы.
Если а = ~, то окружности (ср') и (Cp1) совпадают с окружностью, проходящей
через F (и с центром F'), и огибающая есть парабола с фокусом F и директрисой u'v' (между прочим, u'v'—также директриса (Г), относящаяся к фокусу Е).
в) (Г) — парабола. Обозначим через S вершину (Г), через /? — ее параметр, через (А) — директрису и через H—проекцию S на (А). Пусть M и M' — две
точки (Г) такие, что (FM, FM') = a; fx и -х' — точки прикосновения с (А) окружностей (М, MF) и (М\ M'F)\ ср—.вторая точка пересечения этих окружностей и P — проекция F на MM'. Произведем инверсию (F1 FH2); (А) перейдет в окружность, построенную на FH как на диаметре, а окружности (М, MF), (М\ M'f) — в касательные к окружности (FH) во вторых точках TnT' встречи этой окружности с прямыми Pfx и Pfx'. Эти касательные пересекаются в точке ср', являющейся
образом ср в указанной инверсии. Имеем: векторы FM и ST с одной стороны, и FM'
640 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
и ST' —- с другой, параллельны и одинаково направлены, значит (ST1 ST') = а, поэтому ? Ту'T' = к — а. Точка ср' лежит, следовательно, на окружности (ср') с центром S и радиусом р' = ———*, эта окружность описывается точкой ср' целиком,
cos I
в то время как угол (FM, FM') делает полный оборот вокруг точки F. Геометрическое место точек ср есть окружность (ср), в которую переходит ('/) в указанной
инверсии, а геометрическое место точек P есть образ (ср) в гомотетии ^F1
Точка F лежит внутри (ср'), значит и внутри (ср) и внутри (P); значит, огибающей прямых MA4' является эллипс с фокусом F1 для которого (p) — главная окружность [или для которого (со) — направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу].
Замечание. Пп. 3° и 4° могут быть решены также при помощи полярного преобразования по отношению к направляющей окружности с центром F; отсюда можно получить огибающую прямых MM' и значит геометрическое место проекций F на MMi'.
88. 1°. а) Парабола семейства (С). Пусть Q — точка, симметричная F относительно (D). Если в семействе (С) существует парабола, то ее директриса должна пройти через точку ср и быть перпендикулярной в этой точке к Лср. Поэтому для любого положения точки А на прямой (D) существует парабола с фокусом F1 директрисой (F) которой будет перпендикуляр к Лср в точке ср; такая парабола существует только одна.
б) Геометрическое место вторых фокусов линий (С). Геометрическое место точек F' есть геометрическое место центров окружностей, касающихся в точке ср окружности с центром А и проходящих через ср, т. е. прямая Лср, за исключением точек Л и ср. Точки этой прямой, расположенные с точкой А по одну сторону, будут фокусами эллипсов (C)1 а по другую — фокусами гиперболы.
2°. а) Свойства директрис (А). Отрезок касательной (D) к линии (C)1 заключенный между точкой касания А и точкой /, в которой (D) пересекает (А), виден из фокуса F под прямым углом. Значит точка / фиксирована и все директрисы (А) проходят через эту точку.
б) Директрисы (Д) и фокусы F' линии (С) с данным эксцентриситетом.
Если линия (С) имеет эксцентриситет, равный е, то, обозначая через г' расстояние
AF AF г
от А до (А), будем иметь — = ?, откуда г' = — = —; (А) есть, следовательно,
касательная, проведенная из / к окружности с центром А и радиусом г'. Условие
существования этих касательных таково: rT < IA или — < AI1 или е > — . Так
л лсгг л лиг г АИ У r* — d*
как ДлР/ ^ Д AHF1 то -^y = -^- =--—-, и предыдущее условие прини-
Yr2 — d2
мает вид е>------. Если оно выполнено, существуют две касательные: (A1)
и (A2), проведенные из / к окружности (A1 г'), и, значит, две линии второго по-
Yr2_d2
