Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
точки X и X' принадлежат той же окружности с центром со и радиусом <»М; X и I' суть центры окружностей, вневписанных в углы M' и M треугольника аЛШ'. Окружность (со, cuiW) проходит через две фиксированные точки t и f прямой АО, так как середина А отрезка W фиксирована и, кроме того, It • W = IM • IMr = == IJ • If = const; значит, геометрическое место точек X и X' есть геометрическое место точек окружностей, касательные в которых параллельны АХ, причем все окружности проходят через фиксированные точки t и V — это равносторонняя гипербола с вершинами t и V.
80. В силу того что образы одной и той же фигуры в двух различных инверсиях с одним и тем же полюсом гомотетичны друг другу, выражение
j2 г/2 „/2
У =
d — R1 -R2
2R[R2
, будучи однородным относительно R[t R2 и d! и имеющее
показатель однородности, равный нулю, будет иметь одно и то же значение во всех инверсиях с данным полюсом. Отсюда следует, что данное положение будет доказано в общем виде, если мы его установим для инверсии с какой-то выбранной нами степенью. Пусть S— полюс инверсии,/?! и р2 — степени этого полюса относительно окружностей (C1) и (C2)- Выберем в качестве степени инверсии число pi. Тогда окружность (C1) перейдет в себя (отсюда следует, что R1 = R1), а образ (СҐ2) окружности (C2) может быть получен из этой последней гомотетией с центром S и коэффициентом гомотетии
k= — =-\-і-. (1)
P2 SC2 —
Центр C2 окружности (C2) лежит на прямой SC2 и определяется соотношением
= *, (2)
SC2
SC2 а радиус
Точки C2, S, C2 лежат на одной прямой. Применим теорему Стюарта к четырем точкам: C1, C2, S, C2; будем иметь
C1C2 • SC2 -J- C1 S2 • C2C2 -J- C1C2 * C2S -J- SC2 • C2C2 • C2S = о,
или, заменяя C1C2 на d2, C1C2 на d'2 и C2C2 на C2S-J-SC2, будем иметь
d/2SC2 + C1S2 (C2S + SC27) + d2C^S + S(T2 (C2I? + SC2) C^S = 0,
или
d'2~SC2 — SC2 (SC2 — SC~2) — d2^ + SCl (SC2 — SC2) SC2 = 0, или, заменяя SC2 его выражением из соотношения (2), имеем
d/2SC2 — SCf (1 — k) SC2 — k d*SC2 + k (1 — k) SCf = 0.
Сокращая на SC2, получим d'2 =(l —k) SC2 -f- kd2 — k (1 — ?) SC22, или d'2=kd2+ + (1 — ?) ( SC2 — ^SC2,). Из соотношения (1) имеем k (SC2 — R22) = SC2 — R2V откуда SC1 — ?SC2 = Rl — kR\. Теперь последнюю формулу для dr2 можно переписать так: d'2 = kd2 + (1 — k) (R2 — kR>2), а так как R[ = R1 и #2 = | k \ R2, то
у2^/?;2_/^2^ d'2-R\-tfRl ы2 + (1~^)(^-^)-^-^22 _ 2/?/? ~~ 2| Al A1A2 21 ? I A1Aj
kd2~kRl-kR2 k d2-Rl-R2 2\k\ R1R2 * JkA 2A1A8
2
2
Л df2-R[2-Rf22 d2-RJ-Rl а так как ¦^1- равно или +1, или —1, то -j—.-= ±---—.
В правой части следует взять знак +, если k положительно; следовательно [на
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
631
основании формулы (1)], если рх и р2 одного знака, т. е. если точка 5 лежит или вне обеих окружностей (C1) и (C2), или внутри них. Если же точка .S лежит внутри одной из окружностей (C1) и (C2) и вне другой, то в правой части последнего равенства следует взять знак минус
81. Г. При с < а. Если же с > а и если а и ? — точки пересечения с (P) касательных Ft1 и Ft2 к (С), то прямая FQ будет прямой (А) тогда и только тогда,
когда точка Q лежит на дуге аОЗ окружности (F). Далее, OF —- биссектриса угла txFt2, точка О — середина дуги a? и a? JL Ot. Если А' — точка, диаметрально противоположная точке О на окружности (F), то Oa2 = OA • OA' = OA • с Y~2. Если через a обозначить ту из двух точек a и ?, которая лежит вместе с точкой G по
одну сторону от 0А\ то OaP = OOP = ~ ; Д Oa^1 поэтому прямоугольный и
_ а2 т/" 2
равнобедренный, значит Oa2 = 2а2 и окончательно OA =—^—.
2°. Пусть /—середина P1P2, а J—середина H1H2, прямая //проходит через О и перпендикулярна (А). Далее, GH1=JH1-JG, GH2 = JJT2- /С = — (JTI1 + /С), откуда GH\-{- GH\ = 2(JH\-\- /С2). Но ДОС/ = ДРО/ (от одного из этих треугольников переходим к другому поворотом вокруг Y на угол поэтому
/G = 01, и так как Л/j = /P1, то G//2 + GH\ = 2 (/P2 + О/2) = 2OP12 = 2а2.
3°. а) Пусть (С) — главная окружность линии второго порядка, ее радиус a, (T1) касательная к этой линии, а точка P1 [которая лежит на (С)] — проекция P на (T1); P2 — вторая точка встречи (С) с прямой FP1; перпендикуляр (T2) в точке P2 к FP2 есть касательная к рассматриваемой линии, параллельная (T1). На основании предыдущего GH\ + GHl = 2а2. Но GH2 = &Н[ и потому GH2 + G9H^ = 2а2.
б) Пусть G и G' — две фиксированные точки, О — середина отрезка GG'(OG = OG'= с) и а — данное положительное число. Поставим вопрос об отыскании огибающей семейства прямой (T1) такой, что если H1 и н[ — проекции G
и G' на эту прямую, то GH\ -f GfH^ — 2a2. Пусть FnF' — точки, полученные из точек GnG' поворотом вокруг О на угол — , H2 — точка, симметричная Н[ относительно О, P1-проекция P на (T1) и, наконец, / и /—-проекции О на PP1 и H1H2. Так как / — середина H1H2, то GH\ + GfHr? = GH2 + GH22=2{GJ2+IH\). Но IH1 = IP1 и ДО/0 = ДО/Р, значит, JG = OI и потому GH\-\-G'h\ =
