Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Xyz > 0, yz + zx -f- Xу > О, X -f- у -f-z > О
и
х>0, у>0, z>0
эквивалентны?
§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ И СМЕШАННЫХ СИСТЕМ 43
12. Доказать, что при условии Z1 > 0, /2 > 0, /3 > 0 уравнение эквивалентно смешанной системе
f\+f\+f\- - 2Z3Z1 - 2Z1Z, = 0, /з>л + Z2-
13. Доказать, что уравнение
эквивалентно следующей смешанной системе:
(/; г /¦ ¦ п \ /•; :>/,/.. -•/,/.« -ivy, vj, <и\ •2W ¦
--64Z1Z2Z3Z1.
Zi > о, Z2 > о, /з>о, Z4 > о, (Zi-Z2) (Z3-Z4) > о, (Zi+Z2 - /з - Л) (Z1Z2 - Z3Z4) > о, Z1 + Z0 + Z3 + Zi - 2Z1Z2 - 2Z1Z3 - 2Z1Z4 - 2Z2Z3 - 2Z2Z4 - 2Z3Z4 < о.
14. Доказать, что если
X— # cos/л cost*, у = a sin a cos z = a sin v (1)
и если
0<u<v<~, (2)
то
z = Va1 — Xі — у2, j
О < X < а, I (3)
0< j/<]/ax — X2. j
Обратно: если выполнены соотношения (3), то найдутся значения и и v, удовлетворяющие соотношениям (2), для которых х, у и z определяются формулами (1).
Глава V
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА § 1. Линейные уравнения
Исследовать следующие системы уравнений:
X1 4- X2 4- *3 + *4 = О,
x1 -!-3X2-U-Gx3-4 1Ox4 = 0,
x1 + х2 -4 -Lv34- 1Ox4 — 0.
.vi + a-3 + *4 = o.
^4-^4-^==0,
2*1 + *2 + *3 + 2*4 = 1.
x1 — х2 4- Зх3 — x4 = 1,
x1 — Зх2 + л'з 4" xi = о,
х. —2.V2 4-2*3 = 0.
2-^i 4- х2 -4 -v3 4 X* =
x14- 2х2 4- x3 4- x4 = 8,
x1 4- *2 -j- 2х3 4" X4 — 8, x1 -4 *2 + хг + *4 = 7. x1 — 2х2 -г Зх3 — 4х4 4- 2х5 = О, 2X1 4- Зх2 — 4х3 4" X4 — 2хъ — О, OX1 — 2*2 + 4*3 + *4 — Gx5= О, 4X1 -4 Зх2 — x3 — 2x4 — 4х5 — 0.
x14- х2 4- х3 -4 х4 = о,
3X1 -4 4х2 4- 5хо 4- бх4 -4 4х5 4- 2xo = 3, 3X1 4- Gx2 4- 1Ox3-4 15л:4 4- IGx5 4-8х6= 13, x1 -4 4*2 4 5*3 4- 20*4 + 20*5 + 18*6 33, 8.V1 4- 15*24 21*3 + 42*4 +40*5 + 28*6 = 49,
X14- з*2 4- б*з 4- ю*4 4- 12*5 4-б*6= ю, *i4-2*24- 11*4 4-8*5 4- 12*6 = 23.
+ 2*2 + 2*з+ ... + 2*я=1, 2^ + 2*0 + 2*3+ ... +2*, = 2, 2*4+2*0 + 3*3+ ... + 2хя = 3,
2*,+ 2*2+ 2.V3+ 4*4+ ... +2*я = 4,
2*4 + 2*0+2*3+ ... +2*я.1 -{-пхп = п.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
1 + X1 -f - X2 4- ... хп ~ О, 1 -4- 2.V1 4- 22X2 4- . . . + 2пхп О, 1 4 3X1 -f 32X2 4 . . . '5'1Xn = О,
1 4-//X1 4-/г2х24~ ... -{-ппхп = 0. „ Xn лг Xn ^1- Xn. о 4- ... +~ X1 = л, AT11 - {- 2хЛ „, -4 ЗхЛ . о + . . . + ^x1 - ,
V ' Чг U ft* Д «("+I) Y _л(я+1)(л + 2)
лл "7~олл-1 .~иля-2 і • • • і 1.9 х1 — j .9~3 »
V u „г и о, JLi? +Ji- ¦Ji? Z^L r „,«(" + 1)...(2?-!) Лл ' ;2"1 ' ' " ' 1•2.3.'/.(/Z-I) 1 -2-3 ... л
X1 -4 2х2 4- 2х3 4- 2х4 4- 2х5 + ... + 2хшо = 1,
X1 4- Зх2 4 4х3 4- 4х4 4- 4х5 4- ... 4-- 4х100 = 2,
X1 4- Зх2 + OX3 4- Gx4 4- Gx5 -4 . . . 4 6-V100 = 3,
X1 -4-Зх2 4~ 5х3 4~ Tx4 4" Sx5 4~ • -h Sx100 — 4,
X1 --г Зх2 4 Ox3 -4- 7х4 -4- 9х- 4- . . . 4- 199х100 — 100.
§ 2. Линейные уравнения, содержащие параметры
Исследовать следующие системы уравнений:
, X 1^9^4-(^4-3)2:= 8, 2х 4- 3у 4- (a 4) z = 12, Зх 4- (Ga 4- 5)у + 7? = 20. xJryJrZ==zQi
ах 4~ Ay 4~ z = 5, бх 4-(a 4-2) 4-2z = 13.
С а 4~ 1) х +" >' 4~ ^ = а + 1> X-^ (а + 1)^4-0 = а 4-3,
X -4 у 4- (я 4-- 1) z =¦ — 2а — 4. ах 4- у -- z-~ 1, 5. ах — by — О,
X 4~ — 2- 1, а2х — by — а&.
— X 4" 3' -\- (iz =\.
2х 4-3 v — 42: = 5, 2ах -4 Uy 4 (7? ~ 5а) 2г = 2а 4- 3/>, ?х 4 За у 4 (а ~ b)z = а 4" 4?. ах 4~ у ~\~z = I1 х4~а_У -+2- = а,
-V 4~ >' *+ az ~ ?2- і
ax-\-y-{-z-\-t — 1, x^?v-^-^+^ — o. x-{-y-\-az-\-t = а2, X 4" .У + 2 +" Qt —
46 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
9. ах + у z = 4,
x + by + z — Ъ, x + 2by + z = 4.
10. ax + ftj> + ^ + tf/ = 0,
bx — ay+ dz — et = 0, ex — dy — az + bt = 0, я?х + — ft,z — at = 0,
где a, ft, с, г/,—действительные числа, не равные нулю одновременно.
11. kx + у +z = а, 12. х + ay + a2z — а3,
x + ky + z = b, x-^by+b2z = ft3,
X+y+kz = C. X + С у + C2Z = с3.
13. x — /7V + cz+ da, 14. X + ay + a2z + a3/ + a4 = О,
y = ax + cz + da, х + by + b2z + ЬЧ + ft4 = О,
2 Z= ax +- by + da, x + су + c2z + c3t + <4 = 0,
u = ax + by + cz. X ±-dy + d2z + d3t +d* = 0.
15. X + y + z + a(y + z) + a2z + a^ = 0, 16. x + y + z = 0,
x + y+z + b (y + z) + b2z + ft3 = 0, ax + by + cz = 0,
x + y + z + c (У + z) + c2z + c'3 — bcx + cay + abz = 1.
17 ±il - ? = ? 4. 1 4. 1 = A_L ^4-? —і j. I 4-І
1/e <г ' ? x с ? т с т я с ^ а T b " a > ? г с \
18. x4-j/ + z = 0,
a — 1 ? — d 1 с — d
19 _K__I____--L
* L _ У I * _ \
Г A _
a 4 ;jl 1 b + ;a 1 с 4 'J-X1 у , Z
J1 + V "t--^4T7"T- 7+~
где
20.
a4-ft, ft4=C ефа, p4v v /4,, ).4a. b 1 с \ 1 a ¦
~~ 1 (1 -4,
o1c \ 1 <7
где //4^'.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
47
21.
> ? = A(l_*V
22.
где ti^-v.
23.
Yp Yq
2«,
X Z
«г
Л V ~ V '/ '
а
і У__
