Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Yp Yq
2г>,
X у
•и
X у
Yp Yq
___У__
Z
Yp Yq
и
X , у
v7 vT-
Z V
* у ____
2v.
24. При каком значении а система уравнений
2хх — X2 + X3 -f - X4 — 1, X1 -f - 2х2 — X3 -f - 4х4 = 2,
X1 + Tx2 — 4лг3 -4- 11X4 — o
совместна.
25. Найти все значения X5 при которых следующая система уравнений совместна:
X1 + X2 + + •^4 —j~ *5 = 1»
Xx1 — Зх2 ~j~ 5х3 — X4 —J- ЗХ51, X2X1 — X2 -f- Зх3 + 2х5 = 2. 28. Найти все значения X, при которых следующая система уравнений совместна:
Зх — 2у + г + 2/ = 3, 9х — Qy + 2^ + 3/ = 7, бх —43/ + 32:+7/-- 8, Xx-4j/ + ? + / = 4.
27. При каком условии система уравнений
X _|_ j/_|_2: = a + ? + c, ?x + + cz = а2 + Ъ2 + с2, ?х + су + = а2 + Ъ2 + с2, ^x + а у + = 4ab
совместна? Предполагая это условие выполненным, решить систему. Исследовать следующие системы уравнений:
28. X2 + *з+ ... +X72 = ^1,
X3+ X4
- Xi--CIo
48 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
29*. O1 = G0-Kv1,
а2 — а{) К 2.V1 + JC2, <73 — -u 3^1 К Зх2 К X3,
ап = К "А*і К "Vy^ •V2 к ... -и х/г 3D**. 'V1Kx2-Kv3-+ ... -\-хя=1.
U1X1 К #2*2 К Я3*3 +-¦¦¦+ ^K; = О, а\хх К ^2K К ^-V3 + • • • + alXn ^ °'
^-1X1 к ^K1X2 к ^"'•V3 К к ^-^ = 0. где числа O1, а2, «3> .... а/2— попарно различны.
31*. X1 — х2 — X3-— ... —Xn — 2а,
— Xx + Зх, — X3 — ... — хп = 4а,
— X1—X9KZXo— ... ¦—х„ = 8а,
— X1 — X2 — X3 -~ . . . 4- (2* — 1) *л = 2"а. Выписать и решить систему при п = 4. 82**. — х,2 К ^x1 — х2 = Ci1,
--X1 j 3 А 2 X з — 2 >
— X2K^X3 — X4 = A3,
— хп_,> ф~3хп_1 — Xn — ап _р — *я-1-гЗхд — X1 = ^.
33. GX1K^-V2K ••• цг^хп_1 ф-Ьхп = ел,
^X1 К ах2 К • • • К aXn-i ~Т~ лл"л r" ^I'
где л ФЬ.
34**. (3 К 2A1) X1 К (3 К 2а2) К • • - + (3 4- 2ал) хл< = 3 К 2ft,
(l+3a1K2af)x1K(l+3o2K2ar;)x,K + (1 Ч~ ^an К 2а2) Xn -
1 К 3& К 2ft2,
g1(I КЗааК2я?) ^v1 +- а2 (1 К Ъа, К 2а2) X2 + . . . К (1 К 3«я К 2а2) хп =
= ft(l К 3ft К 2ft2),
а;' - ^ (1 К За, -f- 2а~) X1 -4 а? -:i (1 К Зя, К 2а2) X2 . . .
... К «Г3 (1 г Зя;| 4- 2а2) • лгя = ft" "К К 3ft + 2ft2), л?"2 (1 К Зах) X1 К ^2 "'2O К За2") X2 К ... К «Г^1 + За„) Xn =
= ft^-2(i к3ft).
35. Найти условия, которым должны удовлетворять данные числа а^ а2, а3 и а4, чтобы система уравнений
X1 К -v2 == ^1^2» Л4 К -V3 = а! а3, X1 К -V4 = ^a4, X2 -j~ X3 = а2а3, X2 --4 х4 = а2а4, X3 -f- X4 = а3а4 была совместна. Найти при этом зна іения неизвестных X1, х2, х3, х4.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
49
36. Доказать, что если любое решение уравнения
U1X1 +¦ а2х2 -j- .,. -f аахп = О
является решением уравнения
Mi +Л*2 + . • • +*л = о,
то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е, существует число /г гМ), при котором
bl = kav b2 = ka2.....bn = kan.
Сформулировать и доказать обратное положение.
37. Доказать положение, изложенное в предыдущей задаче, в случае уравнений
вида
ві*1 + я2*2+ •¦• +апХп=Р> Ml + *2*2 + •.. +bnXn=q.
38. Исследовать систему уравнений
—,— = у--=-, Ax + By+ Cz + D = 0.
39. Исследовать систему уравнений
O1* + oley + C1Z = 0, A2* + b2y -{-C2Z = O.
§ 3. Линейные неравенства
Решить следующие неравенства:
1. 2*+ 5 >0.
2. — х+4<0.
3. — 2* —3 >0.
Решить следующие системы неравенств:
4. * + 5>0, х — 3<0.
5. 2* + 1 < 0, * + 3 > 0.
6. X — 1 > 0, * + 2 < 0, 3* + 2 >0. Решить следующие неравенства:
7. «* + />> 0.
8. (а2 — 2а — 3) х + а2 > 0.
9. Пусть (X1, у{) и (х2, V2) — два решения линейного неравенства
Ax + By + С> 0, (1)
т. е.
Ak1 + By1 + С > 0, Лх2 + В у2 + С > 0.
Доказать, что тогда (p*t + <7*2, pyi + q V2), где р > 0, # > 0, +^—I также будет решением неравенства (1).
10. Пусть (X1, , Z1), (х2, V2, -^2), (х3' У^ 2з) — ТРИ решения неравенства
Ax + By A-Cz +D >0.
Доказать, что тогда (/7.V1 + ^x2 + rx3, /Ty1 + # j/2 + гуг, PZ1 + qz2 + гZ3), где р>0, q > 0, /*>0, /;+^ + г=1. также будет решением данного неравенства.
11. Доказать, что если
.4X1 + By1 + С>0, Лх2 + ?у/2 + С < О, то найдутся числа р л q такие, что р > 0, g > 0, p + g = 1 и Л (Px1 + ^v2) + В (рух + ?-У2) + C = O.
4 п. С. моденов
50 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
12. Доказать, что если
Ax1 + By1 ф- Cz1 + D ф Ax2 ф- By2 + Cz2 + D, то найдутся числа р и q такие, что p + q=\ и
A (PX1 + qx2) ф- В (ру, + qy2) ф- С (pzx + qz2) + D = 0.
13. Пусть (X1, JV1, Z1) — решение уравнения
A1X ф~ B1)J ф~ C1Z = 0, (1)
не являющееся решением уравнения
A2X-ф В2у-ф C2Z = 0, (2)
а (х2, v2, Z2) — решение уравнения (2), не являющееся решением уравнения (1). Пусть в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны. Пусть P1 и (J1 — такие числа, что (P^x1+ qvx2, p^i + q^^ P1Z1 ф- qtz2) — решение уравнения
(A1 + A2) x + (S1 + B2) у + (C1 + C2) z = 0,
а р2 и q2 — такие числа, что (ргхгф~ q2x2, РіУіФ ЧгУі^ P-iz\ Л~ Чг2^— решение уравнения