Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 15

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 381 >> Следующая

Yp Yq
2г>,

X у



•и

X у
Yp Yq


___У__
Z

Yp Yq
и

X , у
v7 vT-
Z V

* у ____
2v.

24. При каком значении а система уравнений

2хх — X2 + X3 -f - X4 — 1, X1 -f - 2х2 — X3 -f - 4х4 = 2,

X1 + Tx2 — 4лг3 -4- 11X4 — o

совместна.

25. Найти все значения X5 при которых следующая система уравнений совместна:

X1 + X2 + + •^4 —j~ *5 = 1»

Xx1 — Зх2 ~j~ 5х3 — X4 —J- ЗХ51, X2X1 — X2 -f- Зх3 + 2х5 = 2. 28. Найти все значения X, при которых следующая система уравнений совместна:

Зх — 2у + г + 2/ = 3, 9х — Qy + 2^ + 3/ = 7, бх —43/ + 32:+7/-- 8, Xx-4j/ + ? + / = 4.

27. При каком условии система уравнений

X _|_ j/_|_2: = a + ? + c, ?x + + cz = а2 + Ъ2 + с2, ?х + су + = а2 + Ъ2 + с2, ^x + а у + = 4ab

совместна? Предполагая это условие выполненным, решить систему. Исследовать следующие системы уравнений:

28. X2 + *з+ ... +X72 = ^1,

X3+ X4

- Xi--CIo

48 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

29*. O1 = G0-Kv1,

а2 — а{) К 2.V1 + JC2, <73 — -u 3^1 К Зх2 К X3,

ап = К "А*і К "Vy^ •V2 к ... -и х/г 3D**. 'V1Kx2-Kv3-+ ... -\-хя=1.

U1X1 К #2*2 К Я3*3 +-¦¦¦+ ^K; = О, а\хх К ^2K К ^-V3 + • • • + alXn ^ °'

^-1X1 к ^K1X2 к ^"'•V3 К к ^-^ = 0. где числа O1, а2, «3> .... а/2— попарно различны.

31*. X1 — х2 — X3-— ... —Xn — 2а,

— Xx + Зх, — X3 — ... — хп = 4а,

— X1—X9KZXo— ... ¦—х„ = 8а,

— X1 — X2 — X3 -~ . . . 4- (2* — 1) *л = 2"а. Выписать и решить систему при п = 4. 82**. — х,2 К ^x1 — х2 = Ci1,

--X1 j 3 А 2 X з — 2 >

— X2K^X3 — X4 = A3,

— хп_,> ф~3хп_1 — Xn — ап _р — *я-1-гЗхд — X1 = ^.

33. GX1K^-V2K ••• цг^хп_1 ф-Ьхп = ел,

^X1 К ах2 К • • • К aXn-i ~Т~ лл"л r" ^I'

где л ФЬ.

34**. (3 К 2A1) X1 К (3 К 2а2) К • • - + (3 4- 2ал) хл< = 3 К 2ft,

(l+3a1K2af)x1K(l+3o2K2ar;)x,K + (1 Ч~ ^an К 2а2) Xn -

1 К 3& К 2ft2,

g1(I КЗааК2я?) ^v1 +- а2 (1 К Ъа, К 2а2) X2 + . . . К (1 К 3«я К 2а2) хп =

= ft(l К 3ft К 2ft2),

а;' - ^ (1 К За, -f- 2а~) X1 -4 а? -:i (1 К Зя, К 2а2) X2 . . .

... К «Г3 (1 г Зя;| 4- 2а2) • лгя = ft" "К К 3ft + 2ft2), л?"2 (1 К Зах) X1 К ^2 "'2O К За2") X2 К ... К «Г^1 + За„) Xn =

= ft^-2(i к3ft).

35. Найти условия, которым должны удовлетворять данные числа а^ а2, а3 и а4, чтобы система уравнений

X1 К -v2 == ^1^2» Л4 К -V3 = а! а3, X1 К -V4 = ^a4, X2 -j~ X3 = а2а3, X2 --4 х4 = а2а4, X3 -f- X4 = а3а4 была совместна. Найти при этом зна іения неизвестных X1, х2, х3, х4.

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

49

36. Доказать, что если любое решение уравнения

U1X1 +¦ а2х2 -j- .,. -f аахп = О

является решением уравнения

Mi +Л*2 + . • • +*л = о,

то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е, существует число /г гМ), при котором

bl = kav b2 = ka2.....bn = kan.

Сформулировать и доказать обратное положение.

37. Доказать положение, изложенное в предыдущей задаче, в случае уравнений

вида

ві*1 + я2*2+ •¦• +апХп=Р> Ml + *2*2 + •.. +bnXn=q.

38. Исследовать систему уравнений

—,— = у--=-, Ax + By+ Cz + D = 0.

39. Исследовать систему уравнений

O1* + oley + C1Z = 0, A2* + b2y -{-C2Z = O.

§ 3. Линейные неравенства

Решить следующие неравенства:

1. 2*+ 5 >0.

2. — х+4<0.

3. — 2* —3 >0.

Решить следующие системы неравенств:

4. * + 5>0, х — 3<0.

5. 2* + 1 < 0, * + 3 > 0.

6. X — 1 > 0, * + 2 < 0, 3* + 2 >0. Решить следующие неравенства:

7. «* + />> 0.

8. (а2 — 2а — 3) х + а2 > 0.

9. Пусть (X1, у{) и (х2, V2) — два решения линейного неравенства

Ax + By + С> 0, (1)

т. е.

Ak1 + By1 + С > 0, Лх2 + В у2 + С > 0.

Доказать, что тогда (p*t + <7*2, pyi + q V2), где р > 0, # > 0, +^—I также будет решением неравенства (1).

10. Пусть (X1, , Z1), (х2, V2, -^2), (х3' У^ 2з) — ТРИ решения неравенства

Ax + By A-Cz +D >0.

Доказать, что тогда (/7.V1 + ^x2 + rx3, /Ty1 + # j/2 + гуг, PZ1 + qz2 + гZ3), где р>0, q > 0, /*>0, /;+^ + г=1. также будет решением данного неравенства.

11. Доказать, что если

.4X1 + By1 + С>0, Лх2 + ?у/2 + С < О, то найдутся числа р л q такие, что р > 0, g > 0, p + g = 1 и Л (Px1 + ^v2) + В (рух + ?-У2) + C = O.

4 п. С. моденов

50 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

12. Доказать, что если

Ax1 + By1 ф- Cz1 + D ф Ax2 ф- By2 + Cz2 + D, то найдутся числа р и q такие, что p + q=\ и

A (PX1 + qx2) ф- В (ру, + qy2) ф- С (pzx + qz2) + D = 0.

13. Пусть (X1, JV1, Z1) — решение уравнения

A1X ф~ B1)J ф~ C1Z = 0, (1)

не являющееся решением уравнения

A2X-ф В2у-ф C2Z = 0, (2)

а (х2, v2, Z2) — решение уравнения (2), не являющееся решением уравнения (1). Пусть в уравнениях (1) и (2) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны. Пусть P1 и (J1 — такие числа, что (P^x1+ qvx2, p^i + q^^ P1Z1 ф- qtz2) — решение уравнения

(A1 + A2) x + (S1 + B2) у + (C1 + C2) z = 0,

а р2 и q2 — такие числа, что (ргхгф~ q2x2, РіУіФ ЧгУі^ P-iz\ Л~ Чг2^— решение уравнения
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed