Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(A1 - A2) X ф- (B1 — B2) у + (C1 - C2) z = 0.
Доказать, что если /?х и qx имеют одинаковые знаки, го P1 и q:1 имеют противоположные знаки и наоборот. Найти сумму
+. Ж
14. Даны три уравнения с двумя неизвестными:
A1X фг ВіУ + C1=O, (1)
A2X+ В2у+C2=O, (2)
A3X+ В3у+ C3 = O. (3)
Известно, что уравнения (І) и (2) имеют единственное решение (X1, yL), уравнения (2) и (3) имеют единственное решение (х2, у2) и уравнения (3) и (1) имеют единственное решение (х3, у3). Известно также, чго
А^ + В^ + С.УО, Л2х2+В2у2 + С2>09
Л,х3ф- В3у3 f C3 >0.
Доказать, что тогда
A1 (PX1 + qx2 + гX3) - j- B1 (рУі + qy2 ф- ry3) + C1 > 0,
А (Рхі + я*2 4 ^3) 4- в2 (руг -4- qy}2 -f- ry3) + C2 > о,
(p*i + QX2 4~ rx3) + B3 (рУі + qy2 + r V3) + C3 > 0,
где
P > 0, q > 0, r > O5 p\.q + r=\>
и обратно: если
А.х + В.у + С.уО, А2х+В2у + С2>0, A3X -\ B3 у 4 C3 > 0, то X и у можно представить в виде
у = Py1 +- qy2 + ry^
где р > O3 q > 0, г > 0, р + q +- г = І. Обобщить это положение на случай четырех линейных уравнений с іремя неременными.
§ 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
51
§ 4. Составление линейных уравнений П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным
1. Со станции вышел пассажирский поезд, проходящий v кмічас. Через / час. с той же станции, по тому же направлению вышел скорый поезд, проходящий V1 (V1 > V) кмічас. Через сколько часов после своего выхода скорый поезд догонит пассажирский?
2. Предприятие за первый год после открытия дало 2450 руб. дохода и потребовало 4100 руб. расхода; затем доход ежегодно увеличивался на 600 руб., а расход уменьшался на 500 руб. Через сколько лет сумма всех расходов со дня открытия предприятия покроется доходом за это время?
3. Самолет летел сначала со скоростью 180 кмічас. Когда ему осталось пролететь на 320 км меньше, чем он пролетел, он изменил скорость и закончил рейс со скоростью 250 кмічас, причем средняя скорость его на всем пути оказалась равной 200 кмічас. Какое расстояние пролетел самолет?
4. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 40 кмічас, и видит, что мимо окна в противоположном направлении в течение 3 сек. проходит встречный поезд, имеющий длину 75 м. Какова скорость встречного поезда?
5. От пристани оіошел речной пароход и одновременно от нее же отправился по берег}' пешеход. Пройдя 24 км, пароход повернул обратно и через некоторое время снова оказался с пешеходом в одном пункте, именно в 8 км от пристани. Определить собственную скорость парохода, если скорость пешехода и скорость течения реки равны 4 кмічас.
6. В 8 час. вечера были зажжены две свечи одинаковой длины. Одна сгорает за 5 час, другая — за 4 час. Через некоторое время свечи были потушены, причем оказалось, что от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Когда были потушены свечи?
7. Пешеход идет со скоростью 5 кмічас, останавливаясь на отдых через каждые 4 км. Продолжительность каждой остановки, кроме четвертой,— 10 мин. Четвертая остановка—1 час. Какое расстояние прошел пешеход, если, отправившись в путь в 4 час. утра, он пришел на место к полудню?
8. Отец предполагал распределить некоторую сумму денег между своими тремя сыновьями в отношении 7:6:5. Затем он изменил свое решение и ту же сумму разделил в отношении 6:5:4. Кто из сыновей получит больше в результате второго деления? Кто меньше? Известно, что один из сыновей в результате деления (второго) получил на 12 руб. больше другого. Сколько получил каждый?
9. Один сплав содержит два металла в отношении т\ п, другой сплав из тех же металлов содержит эти металлы в отношении /;: д. Сколько килограммов первого сплава надо добавить к s кг второго, чтобы количества металлов в новом сплаве относились бы как а : о?
10. Имеется два сплава — меди и серебра. В первом сплаве отношение веса меди к весу серебра равно р, во втором д. В каком отношении надо взять вес первого сплава к весу второго, чтобы в новом сплаве, который получится при переплавлении взятых сплавов в один, отношение веса меди к весу серебра было бы равно г? При каком условии решение возможно?
11. Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
12. Одна бочка содержит 12 ведер спирта и 20 ведер воды, другая — 9 ведер спирта и 4 ведра воды. Сколько ведер нужно перелить из первой бочки во вторую, чтобы получить в ней смесь, содержащую спирт и воду поровну (по объему)?
13. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих т и // кг, отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных
52 Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков.?
14. Некоторый сплав состоит из двух металлов; отношение частей металлов 1 : 2; другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
