Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
70. Доказать, что если а>-0, ft">0, с 0, то
(a + l)(*-f 1)(а -f c)(ft4~c)> \Qabc.
При каком условии имеет место знак равенства?
71. Доказать, что если а и ft не равны нулю одновременно, то
5а2 —6?ft + 5ft2>0.
72. Доказать, что если а > 0, ft > 0, то
(а 4- ft У* ^ 4~ ^ I 2 ] ^ 2
где м — целое положительное число.
При каком условии имеет место знак равенства?
73. Доказать, что если а Ф ft, ft Ф с, с ф а, то
а* /;з -j- сз д ь + с а* +63+ с* > 3
74. Доказать, что если а > 0, ft > 0, афЬ, то
ТА_<1^<?+А.
^ + T
75. Доказать, что если числа a, ft, г, а1 положительны, то
V'(? +Ь) (c + d) + ]/"(T+7)"(ft + ^) + V(T+T) (ft+ с) > > Voft + 4- Vflrf 4- VTc + VTd + Vcd.
76. Доказать, что
8(u44-?4)>(o + ^)4.
где а и ft — любые действительные числа; при каком условии имеет место знак равенства?
77. Доказать, что если а > 0, ft > 0, с > 0, то
aft (а 4- ft — 2с) 4- ^ Ф + с — 2а) 4- га (г -f а — 2ft) > 0.
78. Доказать, что если а > 0, ft > 0, а Ф b, то
r ^ я 4-1
79. Доказать, что если ах > 0, O2 > 0, а3 > 0, а4 > 0, то 83. Если ах, а2, а3, а4—положительные числа, то
Aa1 а2 а3 я4 < а] 4- а* 4- а* + а\.
38 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
81. Доказать, что если а и b— длины катетов, а с — длина гипотенузы треугольника, то
с3 > a3 -\-Ь\ '
82. Доказать, что если
1 :4 a + b - f~ с < a -f 1 и b <^ с,
то а > /?.
83. Доказать, что
1 a ft 1 ^ ! д I , I й-f ^
1 + \<г+т?т ^ і TH т~т+ТлУ'
84. Доказать, что если 0 < а< 1, 0 < ? < 1, 0 < *[ < 1, то
(1 _a)(i _?)(i _7) > і _„_(а + р + т).
85. Доказать, что если х > 1, а /г —целое положительное число, то
86. Доказать, что
87. Доказать, что
(п+1 п - 1\
.V 2 _^ 2
3 -|- x -j-- 1 ^ *" *
л- + 2
88. При каких значениях а система неравенств
выполнена при всех действительных значениях х? 89*. Дано п положительных чисел ал, а2* .... ап. Доказать, что сумма квадратных корней из всех произведений этих чисел, взятых попарно, не больше, чем
П--1 , , , , V
—у—Ia1 + ^Ч- • ¦ • 4 90*. Доказать, что если все числа ак и Ьк положительны, то
(^,+^2+---+^)(? + ?+ •¦• +g-)>(«l + ?2+ •••+^)2-
91*. Доказать, что если 0<х< 1, то
ІІІ±Х_/т+^<^.
1+1
92. Доказать, что если 1 -f- ? > 0, то (1 -f~a)">l an, где /і — целое положительное число, большее 1. 93**. Доказать, что если абсолютная величина числа а меньше 1, то
1+V - а2<Унгн<1+4.
а п
иначе говоря, 1--]-— есть приближенное значение корня \\-\-az избыт-
са не превосходит а2. [ а — число по абсолютной вели1
1+?-?</!+«< 1+4
ком, причем ошибка не превосходит а2. 94. Доказать, что если а — число по абсолютной величине меньше 1, то
т. е. 1 —I—ссть приближенное значение корня УI ~\-а с избытком и
а?
с ошибкой, не превышающей -^-.
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
39
95. Доказать, что
если 0 < b < а2. 96. Доказать, что если
то
97. Доказать, что если
*! + •V2+ • • • +хл^7Г
9l r» f і 9 ^
Л, -і- X" Ч- ... і— -^" -
1 1 2 1 1 п ^ fi
-X2+ ... +Xn = а,
x{ + xl + . . . + x\ = b, з , з , , з Зябл — 2а3
+ Л-2 + ... +Xn=---к-
то
/І»
/2
98. Доказать, что если A1 > 0, а2 > 0, ..„, ал > 0, то
(«і+».+ ... +«„)(+-+ ••• +i)>"2
99. Доказать, что если b1 + b2 + ... + ^ O1 то дробь
Ьг + Ь2 + ... + Ьп
заключена между наименьшей и наибольшей из дробей
bi ' bo ' ' ' ' ' bn
109. Доказать, что если Ci1, а2, . . ., ап положительны, то среднее арифметическое
_1_
п
¦ К + o2 + • • • + д„)
заключено между наибольшим из чисел Ci1, а2, . . ., ап и наименьшим из них. 101. Доказать, что если числа U1, а2, ап положительны, то среднее геоме-
трическое из этих чисел, т. е. \/ Ci1CL2 . . . ап, заключено между наибольшим и наименьшим из чисел Cl1, а2, ап.
102. Доказать, что если числа а{, а2, ап положительны, то среднее гармоническое этих чисел, т. е. число р, определяемое из равенства
1 = + ... + -ц.
P п \cii ' а2 ап J
заключено между наибольшим и наименьшим из чисел Ci1, а2, ап.
103. Доказать, что среднее гармоническое из положительных чисел не более их среднего геометрического, причем знак равенства имеет место только при равенстве всех чисел между собой.
104. Доказать, что, каковы бы ни были числа Ci1, а2, ап, среднее квадратичное из этих чисел, т. е.
а\ + а2+ ... +ап
п
заключено между наибольшим и наименьшим из чисел
40 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
105. Доказать неравенство
^1 + ^2+ +ап ^ і / а\ + а:2+ ••• +ап п п
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда все числа A1, а2, •••» Ол Равны между собой.
106. Доказать, что если числа ах, а2, ап положительны, то отношение их среднего арифметического к среднему гармоническому не меньше 1.
