Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 13

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 381 >> Следующая


107. Доказать неравенство

я А + <*Фг + • • • + апьп < У + «о Ч- ... + ап Уь\ 4 bi + ... 4- .

108. Доказать неравенство

/(^v=7W <

109. Доказать неравенство

Va] 4- o2 4 ... 4- од < 1O1J 4-1 а2 \ 4- ... 4 ! CLn \. ПО. Доказать неравенство

I V лї -J- +- ... + ai—V ъ\+и + ... ^1-/4 + 1?-?: + ... + I*„-*J.

111. Доказать, что если сумма п положительных чисел x1, л*2, Xn равна s, то произведение л:'"1 х\\и- . . . Xn4^ имеет наибольшее значение, если

— = = . . . = --^- , где ть ш.,, . . ., т„ — данные целые положитель-

IfIi ТПо тпп 1 "

ные числа. Найти это наибольшее значение. Доказать то же положение, считая, что nip — данные положительные рациональные числа.

112. Доказать, что если произведение п положительных чисел xlt х2, Xn равно данному числу то их сумма ^і4"х2~г~ ••• ~\гхп будет наименьшей, если

Найти это наименьшее значение.

113. Доказать, что если Ax + By ф-Cz ф-D = 0, где А, В, С, D — заданные числа, причем среди чисел А, В, С хотя бы одно не равно нулю, то

VG= ^+(у - *еТ(^-ё > +44* -:°+с*°+D1.

V' Л-1 -+- о-1 -j- С-1

где х0, у0, — также данные числа. При каких значениях х, у и z имеет место знак равенства?

114. Доказать, что если

.V1 —- ах 4 л4 Vi bi -\-ши Zx = Cx + )лх\

X2 = а2-\~ [ll2, V2 = Ь2 4" \xm2> Z2 = C2 4- P-^2'

где alt bx, C1, a2, b2, c2, I1, mx, nx, I2, m2, п2 — данные числа, причем l\ 4- Aftf 4- n і 0, li + ml+ ПІФО

(tnxn2 — W2Ai1)2 4' (hn\ ~~ htli)2 4- (^w2 — Z2W1)2 Ф0,

то

V (x2- XxY 4 (V2 -- V1)2 4- (z, — zxY' -! (x2 — X1) (/W1N2 — Ui2U1) ф (y2 -- Vj) (I2H1 - /,^2) + (r2 — Z1) (lxm2 — Z2W1)

V (mj/7o — /H2AZ1P -{- (Z2AZ1 — Z42)" "f- (/]AHo — Z2W1)-

При каких значениях а и \x будет иметь место знак равенства?

§ 3. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ И СМЕШАННЫХ СИСТЕМ

41

115. Доказать, что если xQ, у0, z0, X1, ylt Z1, I, т, п— данные числа, а числа х, у, z определяются соотношениями

X == X1 +It, у =z у1 + mt, z = zL + nt, где t — произвольное число, то

(х - X0T- + (у - yQ)2 + (Z- Z0)2 > - I'1 O'i " >'o) — т ^ — + У — го) — п (х1 ~ *о)Р + И (*1 " л'о) — п (Уі — Уо)]9

При каком значении t имеет место знак равенства?

§ 3. Эквивалентность неравенств и смешанных систем

1. Доказать, что неравенство

I л* — a j < s

эквивалентно неравенствам

а — ? < л" < а +%.

2. Доказать, что неравенство

х2 + у2<а2, где а > 0, эквивалентно системе неравенств

¦— а < X < а, — у а2 ¦— х2 < у < У а- —- х2 или системе неравенств

— а<у<а, - ]/а*— / < х < /^="7-

3. Доказать, что система неравенств

Л>0, /2>0

эквивалентна системе

Л + Л>0, Z1Z2X).

4. Доказать, что при условии

х' = л* -f - j/, х'у' = у

система неравенств

О < х' < 1, 0 < у < 1 эквивалентна системе неравенств

x >0, у > 0, a: ~f- у < 1.

5. Доказать, что при условии

xf = x + y + z, xryf = y + z, x7y;z' = z система неравенств

0<х'<1, 0</<1, 0<г'<1 эквивалентна системе неравенств

*>0, у>0, z>0, x + y+z<\. 5. Доказать эквивалентность следующих двух систем неравенств: — У ]~^x~2~^~f~ < z < —- X2— у2, — V"rTx:2 < у < VТ—х2,

~- 1 <Х< 1

42 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

и

— VT^lc^J* <у< VY^X2^^,

— У1 — J2 < X < УI — Z1,

-1 <*< 1.

7. Будут ли эквивалентны неравенства?

а) /(х) >0 и arctg/(x) > 0;

б) f(x)>0 и tg/(x)>0.

8. Доказать, что если выполнена система неравенств

z Ф х, 0<z<x + y, 0 < у < 1 — х, 0 < X < І, (1)

то будет выполнена одна из следующих систем:

О < X < 1, 0 < z < х, 0 < у < 1 — X7 (2)

или

О < X < 1, z — X < V < 1 — х, X < z < 1 (3)

и обратно: если выполнена любая из этих систем, то будет выполнена начальная система. Доказать также, что если выполнена одна из систем (2) или (3), то другая не будет выполнена (т. е. что системы (2) и (3) противоречивы).

9. Даны системы неравенств:

z Фу, 0 < 2 < X-г-j/f 0 < у < 1 — х, 0<х<1; (1)

z — y<x<\ — y9 0<y<z, 0 <z< 1; (2)

О < X < 1 — у, z<y<l, 0 < z < 1. (3)

Доказать, что из системы (1) следует либо система (2), либо (3) и обратно: из системы (2) следует (1), из (3) следует (1); доказать также, что си-

стемы (2) и (3) противоречивы. 10. Даны шесть систем неравенств:

0<z<x2 + /2, 0<у<\, 0<х<1; (1)

О < у < 1, 0 < z < X2, 0 < X < 1; (2)

У z — X2 < у < 1, x2<z<x2-f-l, 0<х<1; (3)

О < 2 < 1, 0 < у < Vz, VT^f < X < 1; (4)

О < ^ < 1, Vz<y<\, 0<х<1; (5)

1 < 2- < 2, VzT^l < у <\, У7^у2<х<1. (6)

а) Доказать, что из системы (1) при условии z Ф х2 следует одна из систем (2) и (3) и обратно: если выполнена хотя бы одна из систем (2) или (3), то будет выполнена система (1) и условие z ф х2; доказать, что системы (2) и (3) противоречивы.

б) Доказать, что из системы (1) при условии z Ф у1, гф \ следует одна из систем (4), (5) или (6) и обраню: если выполнена любая из этих систем, то будет выполнена система (1).

Доказать также, чго системы (4j, (5) п (6), взятые попарно, противоречивы. 11. Будут ли системы
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed