Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
ж) /(х) = 0 arctg/(x) = 0;
з) /(X) = O, /(x)-2/W = 0;
и) /(х) = 0; /(X)- 2*(х) = 0; к) logYfJx) =-0, /(X)= 1;
л) /(х)ср(х)=1, log I/(X)I+ log I с?(х)|=0; м) log X2 = 0, 2 log X = 0; н) logX2 = 0, 21og|x| = 0; о) log X3 = 0, 3 log х = 0;
n) log|^| = 0, log|/(x)I-logIср(х)| = 0;
p) log I / (x) cp (x) | = 0, log I/(л) I+ log I «p(jf) |=0; c) log[/(x)cp(x)] = 0, log|/(x)| + log|cp(x)|=0;
§ 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ
31
т) log]/x = 0, і log х = 0;
УУ tg[/(x) + ?(x)] = 0, tg/ (X) + tg ср(х) = 0;
ф) х = 0, tg (sin jc) = 0;
х) /(х) = 0, sintg/(x) = 0;
ц) /(х) = ср(х), arctg/(x) = arctgcp(x).
14. Какое из двух уравнений каждой пары есть следствие другого (над полем действительных чисел)?
а) /(х) = 0, -^4 = 0;
J J v J ср (x)
б) /(x) = 0, sin /(x) = 0;
в) /(x)=l, P(X)=U
r) /(X)=J9 tg/(х)=1.
15. Уравнение /(х) = 0 не имеет корней. Пусть ср (х) = 0 — какое-нибудь уравнение. При каком условии уравнения
/(X) = O и /(X)9(X) = O
будут эквивалентны?
16. Дано уравнение
ут+т+уу+2=У~х.
Возведем обе его части в квадрат:
(/х~+Т+ Vx~+^)2 = х.
а) Могут ли быть «утеряны» корни в результате этого преобразования?
б) Могут ли появиться «посторонние» корни?
17. Рассмотрим два уравнения:
/(X) = Cp(X) (1)
и
tg/(*) = tg?(*). (2)
а) Могут ли быть «утеряны» корни в результате перехода от уравнения (1) к уравнению (2)?
б) Могут ли быть «приобретены» посторонние корни?
в) Рассмотреть примеры:
а) arc sin X = 2 arc sin —^Lr,
Y2
б) X = 2x.
18. Какое из уравнений
/ (х) = ср (х), arc sin / (х) = arc sin ср (х)
есть следствие другого? При каком условии эти уравнения эквивалентны?
19. Будут ли эквивалентны уравнения
cos / (х) = 0
и
arc cos [cos / (х)] = 1 ?
20. Будут ли эквивалентны уравнения
arc cos V1 — P (х) — arc cos V1 — ?2 0*0
и
/(X) = Cf(X)?
32 Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
21. Будут ли эквивалентны уравнения.
arc cos V1 + Z2 (*) = arc cos V1 + ср2 (x) и Z (*) = ?(*)?
22. Будут ли эквивалентны (над полем действительных чисел) системы уравнений?
х + у = 0, X2+ у2 = 2
и
SIn(X + JZ) = O1 x2 + j/2 = 2.
23. Будут ли эквивалентны системы уравнений?
X+ у=. 0, x2 + j/2 = 5
и
sin (X +J/) = 0, х2 + у = 5.
24. При каком условии системы уравнений
/і = о. /2 = о, /в = о
/1-/2 = 0, /2-/3 = о, Z3-Z1 = O,
где Z1, /2 и /з — функции от любого числа переменных, будут эквивалентны?
25. Будут ли эквивалентны (над полем действительных чисел) следующие системы уравнений?
/2 (Х) + ср2 (3,) = 1 , SiH [1г/ (X) Ср (у)] = 1
и
/(X) = cp(J;), 1/(X) + (POOI = VT
26. Имеются два уравнения с двумя неизвестными:
/(х, y) = 0t ср(х, j/) = 0.
Пусть c1, blt а2, O2 — какие-нибудь числа. При каком достаточном условии система уравнений
?i/(*. У) + Ьгу(х, у) = 0, а2/(х. ^) + ^2ср(х, j;) = 0
будет эквивалентна (над полем комплексных чисел) заданной системе?
27. Рассмотрим три уравнения с тремя неизвестными:
/(х, у% z) = 0, ср(х, у, -2) = 0, ф(х, J/, Z) = O-
П}сгь alf ^1, C1, а2, #2, с2, а3, #3, с3—какие-нибудь числа; при каком достаточном условии система уравнений
«і/(х, у, 2)+^ср(х, j/, Z) + C1^(X, j;, 2) = 0, a2f (х, j;, 2) + 62cp(x, j/, <2) + с2ф(х, j/, 2:) = 0, O8Z(X, y% 2) + ?3cp(x, j;, 2) + с2ф(х, j/, 2) = 0
будет эквивалентна (над полем комплексных чисел) заданной системе? 28**. Доказать, что уравнения
V(X - с)2 + у2+ V(x + с)2 + у2 = 2а
и
1,
где я>с>0, Ь = Уа2 — с2, эквивалентны (над полем действительных чисел), т. е. любое решение х = х0, у z=y0 первого уравнения будет решением и второго уравнения и обратно.
§ 1. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ 33
29**. Доказать, что уравнения
\У(х-с)г + уг —V(X+ с?+ у \ = 2а
хл у"
где г > я > 0, /? = У с2 — а2, эквивалентны (над полем действительных чисел). 30. Доказать, что уравнения
у2 = 2рх,
где /; > 0, эквивалентны (над полім действительных чисел).
31. Дано, что уравнения
ах2 -|- b Xу |~ ^v2 -f~ d = 0
и
X2 f у2 — 1 = 0
эквивалентны (над полем действительных чисел). Доказать, что тогда b —- 0, а ----- с = — d 0.
32. Дано, что уравнения
ах2 -f - # х_у --f- cjz2 --j- dx -f су -j- / = 0
и
X2 -f-y2— 1—0
эквивалентны (над полем действительных чисел). Доказать, что тогда b = d = e = 0, а = с = —/ ф 0.
33. Дано, что уравнение
ах2 ?х_у -j-- с_у2 -j- dx -\-еу -f- / = 0 эквивалентно уравнению
xj; = 1
(над полем комплексных чисел). Доказать, что в таком случае
a~c = d = e =- 0, а Ь~—~/Ф0.
34. При каком необходимом и достаточном условии уравнение
ах2 + 6xj; -f- Cj/2 -f - х + в у + / = 0 эквивалентно уравнению
у = kx -|~ ^
(над полем комплексных чисел)?
35. Доказать, что из уравнения
f\ + Я + П - 2Z1Z3 - 2/2/а - 2Z3Z1 = 0
следует одно из уравнений
1/ITTl = ± VTzTT ± KiTTT-
36. Доказать, что уравнения
Ух + fj^fz, (z — X — у)3 = 27xyz эквивалентны (над полем действительных чисел).
