Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Принадлежит ли N значение переменной?». Алгебра В есть важнейший инвариант пары {язык, интерпретация}.
Теперь рассмотрим язык квантовой механики, ориентированный на описание системы 5. Нам придется исключить временной аспект, фиксировав момент времени, к которому относятся высказывания о состоянии системы. Тогда «состояние системы» будет единственной переменной языка. Она принимает значения во множестве прямых гильбертова пространства Же- Единственные вопросы, на которые возможен двузначный ответ, таковы: «принадлежит ли состояние системы данному замкнутому подпространству Же?»- Замкнутые подпространства образуют аналог алгебры В. Конъюнкция вопросов отвечает образованию пересечения подпространств, дизъюнкция — их сумме, но обе операции можно производить лишь в том случае, когда соответствующие наблюдаемые-проекторы коммутируют, и лишь в этом случае выполнены булевы тождества.
93
Аксиоматизируем ситуацию:
12.10. Определение.
Частичной булевой алгеброй В называется множество, снабженное следующими структурами:
а) рефлексивное и симметричное бинарное отношение «совместной измеримости». Вместо {а, 6) ?о? мм пишем афЬ; ?
б) частичные бинарные операции V» Л и унарная операция
в) элементы 0, 1е5.
Эти структуры должны удовлетворять следующим аксиомам:
г) Отношение замкнуто относительно операций Д, \Д,; еслигаг, аг, а3 попарно совместно измеримы, то (й, Д а2) а3, (аг\\/а2)фа3, а\^.а3, кроме того, а>|<0, аф\ для всех а&В.
д) Если аи а2, аъ попарно совместно измеримы, то вместе с 0, 1 они порождают булеву алгебру относительно операций \/> А/-
12.11. Пример. Пусть с36— гильбертово пространство (возможно, вещественное и конечномерное). Частичная булева алгебра В (36) определяется как множество замкнутых подпространств 36 со следующими структурами:
а) а%й, если и только если существуют такие три попарно ортогональные замкнутые подпространства с, й, еСЖ, что а = с0с?, Ь=е@д.
Мотивировка: это условие равносильно перестановочности проекторов на а, Ь\
б) а Д Ь=пересечение а, Ь\
в) а\/Ь=сумма а, Ь;
т) а' — ортогональное дополнение к а;
Д) 0={0}, 1—36.
Одна из форм теоремы о несуществовании скрытых параметров такова
12.12. Теорема.
Если АшЗб^Ъ, то В {36) нельзя вложить в булеву алгебру с сохранением операций.
Результат поддается разнообразным формальным усилениям (см. [36, § 5]). Мы не будем на них останавливаться.
Доказательство. Выберем в 36 вещественное эвклидово подпространство Е3<=36 и покажем, что уже В(Е3) не вкладывается в булеву алгебру. Иначе существовал бы гомоморфизм частичной алгебры В(Е3) на двухэлементную булеву алгебру {0, ]}, ибо для любой пары элементов любой булевой алгебры существует разделяющий их гомоморфизм на (0, 1}.
Пусть А— такой гомоморфизм. Если а,, а2, а3С2Е—попарно ортогональные прямые, то
А(аг- Да() = А(а-) ДА(а,)=0 для 1ф].
94
Поэтому из любой пары ортогональных прямых хоть одна должна переходить в 0. Далее, /г (а, V «2 V ад = к (а,) V ^ (а2) V А (а3) = = /г(?'3) = 1. Поэтому из любого репера ровно одна прямая должна переходить в 1.
Отображая точки единичной сферы З2 на прямые, соединяющие их с началом, мы получили бы с помощью Ь. отображение 52 со свойством, уже описанным в предложении 12.4 (нужно лишь поменять местами 0 и 1). Докажем, что отображения с таким свой-» ством нет даже на подходящем подмножестве из 117 точек в ?2. Этот усиленный результат комбинаторно красив и физически значим: попытка измерять проекции спина ортогелия одновременно по всем направлениям могла бы вызвать возражения даже при надежде на скрытые параметры. На самом же деле уже конечного числа направлений достаточно, чтобы показать несостоятельность попытки.
Рассмотрим некоторый конечный граф. Его реализацией на 52 назовем такое вложение множества его вершин в 52, при котором расстояние между концами любого ребра равно 90°.
12.13. Лемма.
Пусть а, {5 — такие точки на 52, что синус угла между их радиус-векторами содержится в [0, 1/3]. Тогда существует реализация графа Гу. при которой а0 переходит в а, аэ в р.
Доказательство. Пусть х, у, г репер на 52. Переведем аз в х, а6 в г. Положим далее для некоторых ?, т|єД
Уі + е VI + ч?
Тогда образцы аг и а4 определяются с точностью до знаков по ортогональности к (а5, а6), (а2, а5), и мы выберем
1 VI + ? Уі + ч2
Затем аналогично положим
я [ , п I . * + "ПУ + ?г|Г
® * і/ 1 і УъЛ ГоТТ? 3 7 1
95
и, наконец, с точностью до знака определяются а, и аа. Синус угла между а„ и аа легко вычислить: он равен
Ь\1У( 1_+е*+^*)_(1+тЖУ).
Это выражение принимает все значения между 0 и 1/3.
12.14. Лемма.
Рассмотрим граф Г2, который получается из картинки
отождествлениями вершин а=р0, b=q0, с=г0 (видимые пересечения ребер внутри окружности не являются вершинами).
Этот граф реализуется в S2.
Доказательство. Положим для
pk I— cos jQ- a+ sin jQ- y,
I jrfe ? . Ttfe 1 . 7lk i "
<7* H COS JQ- y + Sin YQ- 2, rk I— Sin lr A- + COS w Z.
Так как sin (я/10) <1/3, это отображение можно сначала продолжить до реализации подграфа между точками р0, Р\ и го, восполь-
