Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
*_д_______1_^1
4птп к г >
где к— постоянная Планка; тп — масса электрона; е — его заряд; г — расстояние до начала координат (где сидит протон).
Уровни энергии (дискретный спектр Яд):
р 2я2/яе* 1 _ .1 о о
п'~ к2 п2 у — * ’ *
Собственные ф-функции, отвечающие точкам этого спектра, суть состояния электрона, связанного с протоном в атом водорода. Уровень энергии /1=1 отвечает невозбужденному атому, остальные—-возбужденному. Положительная полуось — непрерывный спектр Н$, в состояниях с положительной энергией электрона «атом водорода ионизирован».
Важнейшие наблюдаемые электрона: операторы умножения на три координатные функции х, (наблюдаемые координаты): самосопряженные расширения операторов р3=(/1/2ш) (д/дя3) (наблюдаемые проекции импульсов). Операторы хр^ не коммутируют, так что координата х$ и проекция импульса на ось х^ одновременно не измеримы.
Система Б сферически симметрична. Естественное представление Э0(3) в ?2(?3) коммутирует с Я5. Ограничение этого представления на подпространство Же, отвечающее дискретному спектру Яд, естественно разлагается в прямую сумму представлений, отвечающих уровням энергии ?„. В свою очередь, Еп — подпространство разлагается в прямую сумму представлений Б0(3) на сферических многочленах степеней /=0, 1, 2, ..., п—1 с кратностью 1. Если ф-функция электрона принадлежит уровню Еп и подпрост-
91
ранству, отвечающему представлению 50(3) на сферических многочленах степени /, говорят, что (п, I)—главное и орбитальное квантовое число соответствующего состояния электрона в агоме водорода.
Мы дали образец учебного физического текста. «Язык» смешан в нем с «метаязыком», указывающим на стандартную интерпретацию языка. Опишем теперь ее отдельно и более систематически.
12.8. Интерпретация. Очень важный аспект интерпретации, которого мы здесь не можем касаться — список неформальных рецептов для выбора Ж а, Яя и наблюдаемых, отвечающих данной системе 5. Этот выбор «единиц выражения» производится часто в два этапа: выбор классического описания и применение «правил квантования» к нему. Он может быть «приближенным» в том смысле, что не учитываются те или иные обстоятельства (как спин в п. 12.7).
Пусть Жа и Не уже выбраны. Характернейшая особенность интерпретации квантового языка — ее «двуслойность». Часть математических высказываний интерпретируется как утверждения о «свободно эволюционирующей системе», другая как утверждения о результатах наблюдения над ней.
а) Свободная эволюция. Считается, что (в рамках выбранного приближения) максимально полная информация о состоянии системы в момент I задается ее ф-функцией Пока за систе-
мой никто не подглядывает, ф4 эволюционирует как е~‘^фо, исходя из начального состояния ф0. (Как узнать ф0? См. пункт п. 12.8в).
б) Наблюдение. Пусть мы хотим измерить мгновенное значение какой-то физической величины для нашей системы 5 в момент
I. Этой величине отвечает наблюдаемая А. (Как узнать вид Л? см. начало п. 12.8.) Будем для простоты предполагать, что А имеет однократный точечный спектр.
Предсказания относительно наблюдений таковы.
Если Лф<=аф(, то а будет значением наблюдаемой Л в момент ^ для системы 5 в состоянии с ф-функцией ф4.
В общем случае пусть фд(г'\ 1=1, 2, ..., —ортонормированный базис Ж в из собственных векторов для Л. Разложим ф< по этому базису 00
+ 1 = 3 *{1) РНа0- ПУСТЬ А$А)==а&{А'
1 = 1
Тогда результат измерения Л будет случайной величиной, принимающей значения а, с вероятностями ] с?(2> (/))2 соответственно. (Ее математическое ожидание, как нетрудно видеть, равно скалярному произведению (Лф4, ф<)). Эта формула годится для всех Л. Более общо, вероятность попадания значений Л в борелевское под-
92
множество и с:# равна (РА(и)%, фг)> где РА(Н) определен в п. 12.5г).
в) Эволюция после наблюдения. В предположениях предыдущего пункта ф-функция системы после наблюдения определяется его результатом: если регистрация дала в момент t0 для А значение аь то 5 эволюционирует начиная с 4^° в момент ?0 до очередного наблюдения совершенно независимо от прежнего пути эволюции.
Таким образом, результат наблюдения может позволить нам узнать вид ф-функции после наблюдения, но не дает информации о том, какая она была до наблюдения.
Поэтому физики часто говорят, что регистрация значения а* приготавливает систему в состоянии <ь'Э' в момент времени /0. Другой синоним: в момент наблюдения <Ь-функция системы стягивается В *А-
Если нам удалось зарегистрировать одновременные значения двух наблюдаемых, то мы приготовили систему с ф-функцией, собственной для них обеих. Поскольку для некоммутирующих наблюдаемых всегда есть не общие собственные вектора, их значения, вообще говоря, одновременно не измеримы.
12.9. Квантовая логика. Выделим теперь алгебраический скелет квантовой логики. Мы будем исходить из следующих аналогий.
Пусть дан формальный язык класса &\ с единственной переменной и его интерпретация во множестве М, где эта переменная может принимать значения. Тогда в М выделяется булева алгебра В выразимых множеств (ср. § 3). Конъюнкции формул отвечает булево пересечение выражаемых ими множеств и т. п. Согласно определению если средствами языка можно задать вопрос:
