Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Объединяя это обсуждение с теоремой Тарского, получаем следующую форму теоремы Геделя:
86
11.7. Теорема Геделя о неполноте арифметики.
В любом языке арифметики типа ?Аг и при любом определении выводимости, при котором множество (номеров) выводимых формул выразимо,
{истинные формулы}ф{выводимые формулы}.
Отступление об аутореферентности
В естественных языках лингвисты лишь недавно отметили класс так называемых перформативных высказываний. Их характерной чертой является аутореферентность — «способность соотноситься как со своим референтом с той реальностью, которую оно само создает, в силу того, что она производится в условиях, которые делают его действием» (Э. Бенвенист). К ним относятся: «клянусь», когда само высказывание составляет акт клятвы; «объявляю всеобщую мобилизацию», «назначаю вас директором», когда эти высказывания составляют акт власти, уполномоченной совершать называемые действия.
Пристальное рассмотрение семантики перформативных высказываний выявляет в них императивный оттенок, хотя и выраженный изъявительным наклонением глаголов.
В связи с этим интересно сопоставить роль аутореферентности в формальных и алгоритмических языках (ср. п. 1.2 гл. I). В формальных языках (и вообще языках описания) она приводит к логическим кругам, парадоксам или при попытках избежать круга к демонстрации неполноценности. Напротив, в алгоритмических языках (и вообще в языках и системах управления) аутореферентность является важнейшим приемом разворачивания финитной программы в потенциально сколь угодно длинный процесс (циклы); она участвует в актах управления (обратная связь) и принадлежит к числу фундаментальных возможностей системы.
Подобная двузначность прослеживается и в психологии: ср. противопоставление самоанализ — самовоспитание.
Наконец, аутореферентность. может играть роль в генетической обусловленности процессов старения (биологических и социальных систем). Цикл с самообращением, реализованный многократно, приводит к эрозии места обращения.
12. КВАНТОВАЯ ЛОГИКА
12.1. Последний параграф главы посвящен некоторым физическим фактам и математическим конструкциям, принятым для их описания. В частности, обсуждается теорема фон Неймана о невозможности ввести скрытые параметры в квантовомеханическую картину мира. Этот материал не вполне традиционный для курса логики, имеет к нему двоякое отношение.
87
Во-первых, теорема фон Неймана является редким примером метафизического утверждения. Она относится к свойствам языка, а не микромира, как, скажем, теорема Тарского в метаматематике. Этим объясняется ее изолированное положение в физике и наш интерес к ней здесь.
Во-вторых, анализ квантово-механических эффектов обнаружил глубокое реальное расхождение внутренних логик макро- и микромира. Хотя передача этих различий средствами естественного языка и естественной логики мучительно трудна и в конечном счете всегда оставляет чувство неудовлетворенности, попытки эти постоянно продолжаются. Основания физики XX века преподали нам суровый урок. Для их создания и понимания оказались совершенно не существенными именно те гносеологические абстракции, которые так ценили критики оснований математики XX века: финит-ность, непротиворечивость, конструктивность и вообще картезианская интуитивная ясность. Вместо этого на первый план выступили никем не предсказанные принципы: дополнительность, неклассически вероятностная функция истинности.
Следующее изложение основано на статье [36]. В п. 12.9—' 12.16 содержится чистая алгебра, формально не опирающаяся на остальной иолуфизический текст.
12.2. Атом ортогелия. Мы опишем сейчас некоторые характеристики поведения физической системы «атом артогелия в состоянии я=2, 1=0, 5=\». В этом состоянии атом гелия возбужден: два его электрона находятся на втором энергетическом уровне, их спины направлены в одну сторону. Тем не менее состояние метастабиль-но: чтобы свалиться на первый уровень, электроды должны развернуться спинами в противоположные стороны (парагелий), что и создает некоторую устойчивость.
Спин есть физическая величина той же размерности, что «угловой момент количества движения». Полный спин нашей системы (в атомных единицах: единица действия равна постоянной Планка к\2я) представляется единичным вектором в трехмерном физическом пространстве. В качестве первого приближения можно вообразить, что он меняется со временем, но его мгновенные значения поддаются измерению. (Неадекватность этих представлений скоро будет продемонстрирована.)
Эксперимент по измерению мгновенного значения спина нашей системы может состоять во включении магнитного поля определенной геометрии и регистрации сдвига энергетических уровней (спектральных линий) атома. Каждый исход такого эксперимента определенным образом интерпретируется как измерение проекции спина на то или иное направление, однозначно выделенное геометрией поля. Направления мы будем отождествлять с точками единичной сферы Э2. Квантовая механика делает следующие позитивные утверждения об измерениях спина ортогелия.
88
Следующие величины измеримы:
