Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
зовавшись предыдущей леммой. Вращая полученную реализацию вокруг г0 так, чтобы (р0, pi) перешла в (рь Р2), (р2, Рз), • •получаем реализацию «нижней дуги» и г0. Аналогичные вращения вокруг образов ро, Уо доставляют реализацию остальных двух дуг.
12.15. Конец доказательства предложения 12.4 и теоремы 12.12. Рассмотрим произвольное отображение k вершин графа Г% в {0, 1}. Допустим, что ровно одна вершина каждого треугольника переходит в 1 и хотя бы одна из вершин каждого ребра переходит в 0. Пусть в треугольнике {ро, г0, уо} в 1 переходит ро- Рассмотрим копию графа Л между вершинами р0, г0, рь отождествив их с а0, а8, а9 соответственно. Мы должны иметь k(p\)=k (а9)~ 1. Действи-
96
тельно, если бы А(а9):—0, то ?(a2) = { и затем k(ai)=k(a2) = =k(a3)=k(a4)— 0, k(a5)=k(as)=1 — противоречие.
Теперь вернемся к Г2. Так как k(r0)=k(pi)=l, аналогично на-ходим k{p2) = l и затем k(p3)=^k(pi)=ik(q0)=:l. Но k{q?)=\ противоречит тому, что k(p0)=l. Этим завершается доказательство.
12.16. Квантовые тавтологии. Эта тема почти не исследована: мы приведем один контрпример Кохена и Шпеккера [36] и формулировку недавних результатов Гельфанда и Пономарева.
а) Контрпример. Он состоит в следующем: можно указать представление логического многочлена от 117 переменных, которое будет классической тавтологией, но в частичной булевой алгебре В (?3) при некоторых значениях переменных определено и принимает значение 0. Это — просто другой аспект невозможности вложить В (Е3) в булеву алгебру.
Действительно, пусть Р{р, q, г) —такой логический многочлен от трех переменных, который принимает значение истинности 1, когда в точности одно из значений \р\, \<q\, |г|_есть 1. Можно считать, что в Р входят только связки V» А и I • Аналогично, пусть Q (р, q) —— | р V ~~| Я • Q принимает значение 1, когда среди | р !, | q | есть хоть один 0.
Перенумеруем вершины графа Г2 числами от 1 до 117 и положим
R (pt,..., Pw) = ( л р (plt рр Pk) Д Q (p„ Ps)Y•
(i, /. A) ir, s)
Первое произведение взято по всем тройкам (г, /', k), образующим треугольники в Г3, второе — по всем парам (г, а), соединенным ребром в Г2.
Рассуждение п. 12.15 показывает, что при любом отображении {Pl> ? ? -, Рш} К0> 1} ХОТЯ бы один из булевых сомножителей принимает значение 0, так что Д является классической тавтологией.
В то же время если подставить вместо р\ прямую, соединяющую начало координат с образом i-й вершины в фиксированной реализации графа Г2, мы получим в качестве значения Д элемент 0е? (?3).
В самом деле, рг, ps ортогональны, то р'r V p's = E3\ аналогично, если pt, pj, pk ортогональны, то Р{рР рп pk) — 1 ?=B(E3). Это проверяется следующим образом: положим a\-b = (a/\V)\J (ar/\Ь), тогда
Р(р, Я, r) = p + q + r+p /\q /\г (при любой расстановке скобок), откуда
р (Pi. Pi> Pk)=Pi 0 Pi 0 Pk = E*-
7—1
97
б) Результаты Гельфанда и Пономарева. Начнем со следующего замечания. На множестве замкнутых подпространств В {Ж) гильбертова пространства Ж операции \Л А и ' определены всюду, хотя перестают удовлетворять булевым аксиомам и при пренебрежении отношением % совместной измеримости, как будто лишаются физического смысла.
Тем не менее естественно исследовать и такие структуры, -впер« вые предложенные в качестве квантово-механических логик Г. Биркгофом и Дж. фон Нейманом. Вот их аксиоматизация:
Определение.
Модулярной структурой Ь называется множество с бинарными операциями Д, V» которые удовлетворяют следующим условиям:
а) Д, V ассоциативны и коммутативны,
б) а /\а=а\/ а—а для всех а(=Ь.
в) Если а 1\Ь — Ь, то (а\/ с) /\Ь—Ь\/ (с /\Ь) (модулярное тождество).
Биркгофф и фон Нейман требуют еще существования операции «ортогонального дополнения» с обычными аксиомами, но здесь мы ее опустим.
Заметим, что модулярное тождество в В (Ж) универсально выполняется, только если Ж конечномерно. Оно выполнено также для троек а, Ь, с, элементы которых имеют конечную размерность или коразмерность в Ж.
И. М. Гельфанд и В. А. Пономарев изучали линейные представления свободных модулярных структур с п образующими в В {Ж) для конечномерных пространств над произвольными полями. Такое представление называется неразложимым, если оно не разлагается в прямую сумму представлений в В{Ж\) © 0 В(Ж2).
Определение.
Модулярным вопросом называется элемент свободной модулярной структуры, который при любом неразложимом конечномерном представлении принимает значение либо 0, либо 1.
Один из главных результатов Гельфанда и Пономарева состоит в конструкции очень нетривиальной счетной серии модулярных вопросов. Мы ограничимся формулировками.
Пусть Ьп —свободная модулярная структура с л образующими {аь ..., а«}-Положим /={1, ..., л}.
Последовательность длины 1:а=(ч и) элементов I назовем допустимой, если в ней нет одинаковых соседей.
Последовательность длины I—1 : (5 элементов I назовем
подчиненной а, если она допустима и —1, к1 ф. {{'/, */+,}? Положим для
допустимой а:
... г. = А (V «3)>
4 Р '
где р пробегает все последовательности, подчиненные а. Далее, определим для *е={1, ...,«}
Л (I) = V аа,
