Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
98
где а пробегает все допустимые последовательности длины I с последним элементом и Наконец, положим
Нх {1) = у А, (I).
Подструктура в Ьп, порожденная элементами И\ (I), ..., Нп (I), целиком состоит из модулярных вопросов для всех 1^1.
Это — трудный результат; легче доказывается, что эта подструктура является булевой алгеброй нз 2п элементов. Подставляя ее элементы в качестве значений переменных в обычные булевы тавтологии, мы получаем «квантовые тавтологии», но для этого нужно рассматривать структуры с дополнениями.
Остается выяснить, извлекается ли из этой алгебры нетривиальная физика. Возможно, следует соединить ее с техникой представлений групп симметрий.
12.17. Атом ортогелия: второе посещение. В заключение мы вернемся к атому ортогелия 5 н покажем, как материал п. 12.2 выглядит с общих позиций.
а) Выбор Эё3, как было объяснено в п. 12.7, бесспиновому электрону отвечает пространство Е2(Е3). Учет спина заставляет ввести «двухкомпонентную» ф-функпню, т. е. перейти к пространству Т.2 (Я3) ф Сг. Система двух электронов гелня описывается ф-функциями из тензорного квадрата этого пространства. Но согласно принципу Паули ф-функция этой системы должна оставаться в антисимметричной относительно перестановок электронов части тензорного квадрата. Поэтому окончательно Эёд=А?{Ь2(Е3) ® С2).
б) Выбор Нд. Это — трудная задача, потому что каждый электрон движется в переменном электромагнитном поле, созданном ядром н другим электроном. Главный член гамильтониана отвечает постоянному сферически симметричному потенциалу, который получается усреднением по времени. Остаток рассматривается как малое возмущение. Приведем приближенный вид ф-функцин ортогелия, точнее, элемента нз Аг(Ьг(Е3)), отвечающего проекции Эёд на подпространство единичной проекции спина:
константы к, С0, ..., С6 находятся экспериментально.
в) Приближенные симметрии. В пространстве Жа действует группа 81/(2): на Ь2(ЕЪ) через свой фактор 50(3), на С2 своим стандартным представлением. Это — группа приближенных симметрий системы; ф-функция ортогелия «не слишком удаляется» от подпространства, отвечающего подходящему представлению 5{/(2), что позволяет говорить о главном («), орбитальном (/) и других квантовых числах состояния, как в атоме водорода.
г) Спин. Оператор полного углового момента / коммутирует с гамильтонианом На- В состоянии « — 2, у=1 его собственное значение равно 2 (в атомных единицах). Собственное подпространство НаЖа, отвечающее этому значению, трехмерно. Далее, операторы квадратов проекций спина /2Ж, -/2у> Дг попарно коммутируют (это особенность спина 1).
Ф~е ^•Г1 + Г1) 12-] С5Г12(г]—}—^"й) эЬ Со (г,—Г2) +
+(П—п) (б’з-фС’бПг) ей С0(г 1—п)]-
Здесь
7*
99
Обозначая через Р проектор Зёв на Ы, мы получаем возможность вложить частичную булеву алгебру В{Е3) и В {Зёв), сопоставив прямой ас:Е3 образ оператора РРа. в Зёв- Это заменяет несколько наивную картину п. 12.2.
Приложение. Универсум фон Неймана
1. Предпосылки канторовской «наивной» теории множеств сводились к следующим: множество может состоять из любых различимых элементов (физического или интеллектуального мира); множество однозначно определяется набором своих элементов; любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.
• Формальный язык теории множества ЦБе! призван описывать более ограниченный класс множеств (универсум), чем канторов-ские. Часть этих ограничений вызвана соображениями удобства, другая —желанием избежать так называемых парадоксов. Это дает «оценку сверху» для рассматриваемых классов. «Оценка снизу» определяется желанием, чтобы рассматриваемый класс множеств был замкнут относительно всех математических конструкций, необходимых для реализации той или иной части (в идеале «всей») содержательной математики.
2. Вслед за Цермело, фон Нейманом и другими мы рассматриваем два основных ограничения на множества.
а) Элементами множеств могут быть лишь множества же. В частности, в универсуме V фон Неймана (см. ниже) любая цепочка включений ... обрывается, и, значит, последним элементом ее обязательно является пустое множество. Таким образом, все множества V строятся «из ничего».
б) Предположение о том, что всякая совокупность хотя бы таких множеств снова образует множество из V, немедленно приводит к противоречию (Бурали — Форти, Расселл и др.). В частности, совокупность всех множеств универсума элементом V не является. Поэтому требуется точная формулировка (по крайней мере части) тех операций, которые не выводят за пределы V. Два основных формальных языка теории множеств: Геделя — Бернайса и Цермело — Френкеля — отличаются тем, именами каких объектов являются символы переменных при стандартной интерпретации в Г. У Цермело—Френкеля (наш ЦБе!:) это имена множеств. У Геделя — Бернайса это имена таких совокупностей множеств — классов, которые «не обязательно являются множествами», и свойство класса «быть множеством» специально определяется как свойство «быть элементом другого класса». Язык Геделя — Бернайса изучен в гл. 4 книги Мендельсона [2]. В этом параграфе мы опишем универсум фон Неймана, пользуясь общепринятыми средствами обычной содержательной математики. Отношение этой конструкции к формализму будет обсуждено в п. 18.
