Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Манин Ю.И. -> "Доказуемое и недоказуемое " -> 31

Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.

Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое — Советское радио , 1979. — 89 c.
Скачать (прямая ссылка): dokazuemoinedokazu1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 70 >> Следующая

в) Индуктивное доказательство. Мы проверим, что для каждого а:
в,) Мл есть множество, т. е. Уа?=У,
в2) Ма— транзитивное подмножество V,
в,) —изоморфизм ХааМл, переводящий е в ?Е;
в4) X = и Ха.
а
Утверждения в,) — в3) для а —0 очевидны. Если они верны для всех а <Р Я Р предельный, то они верны и для р. Остается проделать переход от а к а + 1.
в,) Очевидно, [ ] есть функция из Л/'а+1\Уав (ЛГа); в силу истинности аксиомы объемности существует обратная функция. Ее образ А/а+]\Уаесть мно-
72
жество, ибо Л^а и, значит, 3* (Мл) по индуктивному предположению является множеством.
в2) Любой элемент из 'Иа+1\ЛД имеет вид {/а (К) | К е И}, где X е е^а+1\^а, но тогда [X] С^а- Значит, элемент /в (К) этого элемента ЛД+1\.Мв принадлежит образу /а, т. е. множеству Ма СИ XI а+1 • Это доказывает транзитивность Ма+1. ~~
в3) Проверим сначала, что /в+1 является биекцией. Сюръективность очевидна; пользуясь индуктивным предположением, убеждаемся, что достаточно проверить инъективность ва #в+1 \МЯ. Но если Хх, Х2€БХа+1\Ма и Д+1 (чУ0= = /а+1(^а)> т0 {/а(1,)1^е[-5!',]} = {/а(К)|Ке[^2]}- Пользуясь инъектив-ностью /в, получаем [X,] = [Х2], откуда Хх=Х2.
После этого находим /^^^6 [X] /„ (У) е/а+1 (X);
поэтому для XЕ^1+|\А^а отношение УеХ переходит в / (К) 6= / (X). Это, очевидно, достаточно для завершения индукции.
в4) Проверим, наконец, что Л/=уМв. Пусть Л" = ЛХ.и Ма,'допустим, что И' непусто и придем к противоречию.
Если существует Х&Ы' такой, что [X] р| № = 0, то ип^си^; тогда [_У] С Хаа для некоторого а0 и, значит, X е=ЛД+1 , вопреки условию Х^ Если же для всех Х„^Ы' имеем [Х0] [)Ы' ф 0, тогда, выбирая последовательно Хп+х ?= [^л] Л 5 получаем бесконечную цепочку ... ... Хп+1вХпв ... еХ0, вопреки условию теоремы.
г) Допустим, что есть два транзитивных подкласса М, М' и изоморфизм g:(M, €=)5(М', ?=). Положим Ма = Уаи М, М'л= П М’. Очевидная индукция по а тогда показывает, что ?—тождественное отображение.
Предложение доказано.
7.8. Парадокс Сколема.
Пусть М — транзитивная счетная модель аксиом Цермело — Френкеля. В этом случае следующие формулы М-истинны: аксиома бесконечности; аксиома степени;
теорема Кантора об отсутствии отображений х на &(х) для любого множества х (она выводима из аксиом Цермело — Френкеля) .
Так как при счетном X множество &(Х) несчетно, то содержание утверждения об М-истинности аксиомы степени в счетной модели М должно сильно отличаться от содержания утверждения об ее У-истинности.
Действительно, пусть в Ь, Бе1 „у—35(х)а— сокращение формула
уг („гСх“ ----? г ? у)- Пусть ? М, х~ = XМ-, у*= 7 ?М. Тогда,
как нетрудно убедиться,
\*у = Ф(ху\„® = 1<=$У = {2\гсХ, г<ЕМ},
т. е. роль 3* (X) в М играет 2Р (Х)м = № (Х){)М. В этом случае 35(Х)М не более чем счетно, ибо М счетно, и с обычной точкой
73
зрения отображение счетного X на 3(Х)м существует. Это не противоречит теореме Кантора потому, что ее Af-истинность влечет лишь отсутствие таких отображений (графиков) в модели М. Вне нее они вполне могут существовать, но, добавляя один из них к М (и все, что нужно будет добавить для сохранения истинности аксиом), мы увеличиваем М, а вместе с этим 3>(Х)м, и добавленное отображение перестает быть сюръективным отображением.
Все эти эффекты изменения смысла высказываний теории множеств в счетных моделях принято называть парадоксом Сколема.
Коэн был первым, кому удалось использовать свойства счетных моделей для доказательства невыводимости гипотезы континуума. В его моделях между coo и <йо)м лежат множества «М-промежуточной» мощности, хотя с внешней точки зрения И <Оо, И
соо)аг. и все остальные множества просто счетны. Но он добавил фундаментальную новую идею о релятивизации самого понятия истинности, и лишь постфактум можно представить себе положение дел в его моделях с такой простотой (см. детали в гл. III).
Сам Сколем и другие специалисты, по основаниям математики готовые работать со счетными, но не большими бесконечностями, рассматривали парадокс Сколема как проявление относительного характера теоретико-множественных понятий. В частности, существуют «разные континуумы» ^(^м, из которых ни. один не совпадает с «настоящим» ^(«о).
С точки зрения тополога или аналитика, для которого континуум является рабочей реальностью, существование его счетных моделей просто означает ограниченность формального языка как средства имитации содержательных рассуждений. Мы уже встречались с подобными ограничениями при обсуждении формальных аксиом индукций в § 4.
Возможно, для психолога или философа науки наиболее интересно то, что любой математик может понять точку зрения другого (хотя и не обязан с ней соглашаться). Это означает, что речь математика А, доказуемо неспособная нести недвусмысленную информацию о континууме, способна все же привести мозг собеседника В в состояние, при котором он формирует представление о континууме, адекватное представлению в мозгу А. После чего В волен это представление отвергнуть.
«Я значаю, что ты думаешь, — сказал Труляля Алисе, — но это вовсе не так, а совсем наоборот».
8. РАСШИРЕНИЯ ЯЗЫКА \
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed