Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
а) проекция спина s(a, t) на направление ccsS2 в момент времени t\
б) длины трех проекций спина {|s|(a{, *)}, i= 1, 2, 3, на три попарно ортогональные направления (репер) {аь а2, а3}с=52 в момент времени і.
Предсказания о результатах измерения таковы:
в) 5 (a, t) есть случайная величина, принимающая только значения— 1, 0, 1. (Вероятности этих значений могут быть предсказаны по результатам предыдущих измерений, но здесь для нас не существенны.)
з
г) 2 lsl(at> 0 — 2 для любого орта {аи я2, а3} и любого t.
/=і
12.3. Попытка классического истолкования. Она могла бы состоять в принятии следующих гипотез:
А. Имеется некоторое пространство й «скрытых параметров» или «внутренних состояний» системы и функция s(a, t; со), йЄЙ, такая, что если в момент времени t система находится в состоянии о, то 5 (a, t; со) есть «истинное значение проекции спина на ось а» в этот момент.
Б. Вероятностный аспект предсказанный в п. 12.2в есть следствие нашего незнания точных значений со=со(t), так что для некоторой меры йр,(со) имеем математическое ожидание s(a, t) —
/*
= ) s(a, t] ю) d\.і(ю); аналогично для |sj.
я
Обобщая, можно было бы считать, чго й зависит не только от самой системы, но и от установки для измерения спина; ц может зависеть от времени и т. п. Все эти возможности, однако, находятся в противоречии с предсказаниями п. 12.2в, г) по следующей поразительной причине.
12.4. Предложение (Кохен, Шпеккер).
Не существует отображения 52-э-{0, 1} такого, что для любого репера {аь а2, а3} значение этого отобраохения равно 0 точно на одном направлении аи
Более того, можно построить конечную систему из 117 точек Гс=52 со следующим свойством. Для любого отображения k:T-+-* >-{0, 1} либо найдется репер {аь а2, аз)єГ, на котором k принимает значение 0 не в точности один раз, либо найдется пара перпендикулярных направлений {аь а2}с=Г, на которых k равно 0.
Между тем одновременное принятие утверждений п. 12.2 и ги* потез п. 12.3 позволило бы такое отображение сферы построить. Действительно, достаточно было бы рассмотреть S* —>• {0, 1}: a I—* | s I (a, f; ш)
при фиксированных t, со. Согласно п. 12.2в |s| принимает лишь
89
значения 0,1, а согласно 12.2г на любом орте |д| дважды принимает значение I и один раз 0.
Мы докажем предложение 12.4 в п. 12.12—12.15, а сейчас приступим к более систематическому изложению «квантовой логики». Будем придерживаться удобного и привычного дуализма «язык/интерпретация», хотя и другое в физике гораздо менее формализовано и труднее разделимо.
12.5. Язык нерелятивистской квантовой механики. Для описания физической системы 5 типа «свободный электрон», «атом гелия в магнитном поле» и т. п. квантовая механика использует некоторый фрагмент языка функционального анализа, «ориентированный на описание 5» (см. [28, 29]). Предполагая, что читатель знаком с функциональным анализом, мы ограничимся словником важнейших используемых терминов. Тут же приведены их синонимы, употребляемые физиками: они указывают на «физический смысл», т. е. интерпретацию, которая в нашем тексте будет обсуждаться отдельно.
а) Комплексное сепарабельное гильбертово пространство Ж а. ? Важны также его одномерные подпространства и вектора длины единицы. Синоним для первых: (чистые) состояния, для вторых ф-функции (нормированные), точнее, мгновенные значения ф-функ-ций.
б) Унитарное представление К в Ж5'Л\—»«* = е~,Я5*. Синонимы: — динамическая группа; t — время; инфинитезимальная
образующая Н8 (самосопряженный оператор) —динамический оператор, или гамильтониан 5.
в) Уравнение Шредингера: бф</с?^=—1//вф<. Ему удовлетворяют эволюционирующие со временем ф — функции: ф<=е—1Я^.
г) Самосопряженные операторы в Жа- Синоним: наблюдаемые. Оператор На есть наблюдаемая энергии. Дискретный спектр //в — энергетические уровни 5.
Для нас особое значение будут иметь наблюдаемые—ортогональные проекторы. Так, чистые состояния С^<лсЖа находятся во взаимно-однозначном соответствии с проекторами Рф на соответствующее подпространство.
Другой важный класс проекторов строится на основе теоремы
00
о спектральном разложении. Пусть А— | ЫРА (1). Тогда для лю-
—00
бого борелевского подмножества и^Р определен проектор Рл{и)-Его образ в простейших случаях натянут на те вектора в Же, которые собственны для А с собственными значениями из и.
Иаблюдаемые-проекторы называются также «вопросами» (Мак-ки) или «альтернативными свойствами» (русский перевод термина фон Неймана).
д) Коммутирующие операторы. Синоним: совместно (одновре-менно) измеримые наблюдаемые.
Для неограниченных операторов А, В, формальный коммутатор которых может вообще иметь пустую область определения, коммутативность определяется как перестановочность РА(Я 1)! Ра{К2) для всевозможных борелевских иь ЯгЕр.
е) Унитарные представления в Зва различных групп, как то 80(3), 8и(2), Бп и т. п. Синоним: симметрии системы 5 (если представления коммутируют с гамильтонианом Яд); приближенные симметрии (если Нд=Но-\-Ни где представления коммутируют с Но, а Н\ — «малое возмущение»).
12,7. Пример. 5 — «электрон в электрическом ноле протона» (без учета движения протона», релятивистских эффектов и спина)'. Здесь Жз=К1(Е'г’)—интегрируемые с квадратом комплексные функции в эвклидовом «физическом пространстве координат электрона». Н8 — самосопряженное расширение оператора
