Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Обнаружение противоречия в любом из этих формализмов, бу-де оно и произойдет, послужит лишь прояснению, уточнению и, возможно, перестройке наших представлений, но не их крушению, как это многократно случалось в прошлом.
Глава III
ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА И ФОРСИНГ
1. ЗАДАЧА; РЕЗУЛЬТАТ; ИДЕИ
1.1. Кантору принадлежат две фундаментальные идеи в теории бесконечных множеств; открытие (или изобретение?) шкалы их мощностей и доказательство неограниченности этой шкалы.
Напомним, что два множества М, N называются равномощными (запись: card M=card N), если между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Мы пишем card M^card N, если М равномощно части N. Мы говорим, что М и N сравнимы, если либо cardMs^card N, либо Card liV^card М. Мы пишем card М>card N, если Card M^card N, но M и N не равномощны.
108
1.2. Теорема (Кантор, Шредер, Бернштейн, Цермело).
а) Любые два множества сравнимы. Если card Af^card N и card A/s^card М одновременно, то card M=card N. Коротко-, мощности линейно упорядочены.
? б) Пусть М) —множество всех частей (подмножеств) М. Тогда cardд*{М) >cardМ. В частности, самой большой мощности не существует.
в) В любом классе мощностей существует наименьшая. Коротко: мощности вполне упорядочены.
Доказательство, а) Пусть М равномощно части Af'sIV и N равномощно части A/^sM—М'..Отождествим М с М'. Мы получим три множества и взаимно-однозначное отображе-
ние: /: N—*Nj. Построить же нужно взаимно-однозначное отображение g : N—*-М. Вот его явное описание:
. if(x), если же х (N)\f" (М) для некоторого /г> О,
S W — {
(х: в противном случае.
Здесь fn(y)=f(f ... f(y)...) (п раз); fn(N) = {fn(y)\yG:N}.
Проверка свойств / оставляется читателю.
Для доказательства сравнимости любых двух множеств достаточно установить, что любое множество может быть вполне упорядочено, сравнимость вполне упорядоченных множеств следует из леммы 5 приложения к гл. II.
; I Пусть М — некоторое множество. Для каждого непустого подмножества N czM выберем некоторый его элемент с Пол-
ное упорядочение < подмножества АР С М назовем допустимым
‘ (относительно с), если с {М\Х) = X для всех Х(Е;МГ, где %= j ={Y I Y<X}
| Если М'ФМ" — подмножества Af, на которых есть допустимые ; полные упорядочения, то одно из них является начальным сегмен-; том второго и упорядочения согласования.
Действительно, как в п. 7 а ^приложения доказывается, что ка-i ионический изоморфизм f, скажем, АР с начальным сегментом М", I есть тождественное вложение: если f (X) Ф- X и X наименьший
! с таким свойством, то f(X) — X, X~c (M\X)^>X=c(M\f(X))— = f (X) — противоречие.
Теперь легко устанавливается, что объединение АР всех подмножеств М, имеющих допустимое относительно с упорядочение, само j допустимо упорядочено и совпадает с Af, так как иначе его можно было бы вложить в АР и {c(Af\AP)}.
Отсюда, в частности, следует, что любое множество равномощно некоторому ординалу и, значит, единственному кардиналу. Это оправдывает обозначение card для мощности и употребление кар-
109
Интуитивные представления о множествах, к которым мы апеллировали в предшествующем изложении, строя универсум V, являются первичным материалом. Язык Ь^е! изобретен для того, чтобы писать на нем формальные тексты, эквивалентные нашим содержательным рассуждениям относительно V. Аксиомы ЦБе! (включая логические) получены в результате анализа содержательных доказательств. Критерием полноты их списка служит возможность написать формальный вывод, являющийся переводом любого содержательного доказательства. Эта возможность должна быть продемонстрирована компендиумом формальных текстов достаточного объема. Читатель найдет их в других книгах.
В частности, в Ь,8е1 можно написать и вывести из аксиом формулу «ухд ординал а(д:?Кв)», формально отражающую наше ограничение множествами из V.
Вопрос о формальной непротиворечивости аксиом Цермело — Френкеля должен оставаться предметом веры, пока и поскольку не продемонстрирована их противоречивость. Все те доказательства, которые были основаны на них, до настоящего момента не привели к противоречию, но развернули перед нами богатый мир классической и современной математики. Этот мир обладает некоторой реальностью и внутренней жизнью, мало зависящей от формализмов, призванных его описывать.
Обнаружение противоречия в любом из этих формализмов, бу-де оно и произойдет, послужит лишь прояснению, уточнению и, возможно, перестройке наших представлений, но не их крушению, как это многократно случалось в прошлом.
Глава III
ПРОБЛЕМА КОНТИНУУМА И ФОРСИНГ
1. ЗАДАЧА; РЕЗУЛЬТАТ; ИДЕИ
1.1. Кантору принадлежат две фундаментальные идеи в теории бесконечных множеств; открытие (или изобретение?) шкалы их мощностей и доказательство неограниченности этой шкалы.
Напомним, что два множества М, А называются равномощными (запись: card M=cardN), если между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Мы пишем cardM^cardN, если М равномощно части N. Мы говорим, что М и N сравнимы, если либо cardM^card N, либо Card A^card М. Мы пишем cardAf>cardM, если card-fVT^cardJV, но М и N не равномощны.
