Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство, а) Мы должны проверить утверждения
а), б), в) п. 4. Первое из них немедленно следует из определения.
Для доказательства б) рассмотрим два ординала а, р. Согласно лемме 5, существует изоморфизм I одного из них (скажем, а) ка начальный сегмент р либо на р. Покажем, что тогда а&р или а=р. С этой целью установим, что /(у)=у для всех у^а. Действительно, если у1 — минимальный элемент с 1{у\)Фуи то /(у2)=уг для всех уг^уь Так как I — изоморфное вложение а относительно упорядочения е иу1 и /(уО суть множества, имеем
={/Ы |Т2еу1} = {у2|Т2еу1}=у1
в противоречие с выбором уь То же рассуждение показывает, что [(а)=а, откуда следует требуемое.
Наконец, пусть С — непустой класс ординалов, аеС, Если а не наименьший в С, то наименьший элемент пересечения а ПС будет наименьшим в С.
б) Пусть X — некоторое вполне упорядоченное множество. Обозначим через 5 множество ординалов, изоморфных какому-нибудь начальному, отрезку X. Оно непусто, например ординал {0} изоморфен отрезку, состоящему из наименьшего элемента X.
103
Множество р = и а> как нетрудно видеть, является ординалом,
который'изоморфен X. Действительно, если бы это было не так, р
был бы изоморфен начальному отрезку X (скажем, Х^, но тогда ординал р У {Р}, больший р, был бы изоморфен начальному отрезку
{Хг} вопреки определению р.
Вот элементарные свойства ординалов.
8. а) Конечные ординалы — это «натуральные числа» (и нуль) первых этажей универсума V. Так мы и будем их зачастую обозначать: 0=0, \={0}, 2={0, {0}}, 3={0, {0}, {0, {0}}}, ... что для конечных а находится в согласии с отождествлением в п. 8а.
1 б) Ординал, непосредственно следующий за данным а, есть а и {а}- Он обозначается также аь —1, что для конечных а находится в согласии с отождествлением в п. 8а.
в) Ординал ? называется предельным, если (3#0 и р#а+1 ни для какого а. Первый предельный ординал «о как вполне упорядоченное множество изоморфен {0, 1, 2, 3, ...}. Если а^пре-' дельный ординал, то а= и р. Верно и обратное.
.?<«
Ординалами пользуются для трех главных целей: доказательств с помощью (трансфинитной) индукции, конструкций с помощью (трансфинитной) рекурсии и для измерения мощностей. Вот основные принципы.
9. Трансфинитная индукция.
Пусть С — некоторый класс ординалов, причем
а) 0еС;-
б) если аеС, то а+1 еС;
в) если множество ординалов {а»} содержится как подмножество в С, то и а»еС. Тогда С содержит все ординалы.
Действительно, иначе существовал бы наименьший ординал, не содержащийся в С, но он не мог бы быть пустым в силу а), предельным в силу в) и любым другим в силу б). В конкретных приложениях проверка а) и в) часто оказывается тривиальной и опускается.
10. Трансфинитная рекурсия.
Пусть О — некоторая функция от множеств (в дальнейшем будет достаточно считать, что она определена на всех множествах универсума) со значениями в множествах. Тогда существует единственная функция от ординалов И, удовлетворяющая соотношению:
Р(а)=0 (множество значений К на элементах а).
Действительно, это соотношение однозначно определяет /7(0) = =6(0), затем Д( 1)=6({Е(0)}), Д(2), ... Таким образом, если мы рассмотрим класс С таких ординалов а, что К с нужным свойством можно определить на начальном отрезке ординалов <а, то этот
104
класс будет удовлетворять условиям 9а—в и, значит, он содержит все ординалы. Единственность устанавливается попутно (если РФ фр', рассмотреть наименьший а с Р(а)фР'(а)).
П. Измерение мощностей. Разные ординалы могут быть равномощными, например все ординалы «во, юо+1, <во+2, ... (и многие последующие!) —счетные. Однако как угодно далеко происходит скачок мощности.
Ординал, который не равномощен никакому предшествующему ординалу, называется кардиналом.
Таковы все конечные ординалы и о>о.
Любой бесконечный кардинал является, конечно, предельным ординалом. Далее, любое множество равномощно кардиналу, и притом единственному (см. § 1 гл. III). Бесконечные кардиналы образуют вполне упорядоченный класс, который естественно именуется ординалами. Итак,
(о0=первый счетный ординал;
<01=первый ординал мощности >оао=множество всех счетных и конечных ординалов;
о)2=первый ординал мощности >«»1=множество всех ординалов МОЩНОСТИ ^(01 и т. д.
Теперь мы можем ввести наше основное определение.
12. Определение.
Универсумом У (фон Неймана) называется класс множеств и Ув, где множество У определяется следующей трансфинит-
о^Оп
ной рекурсией:
У.= 0
УЛ — и У , если а — предельный ординал.
! 8<®
^ Приведем некоторые элементарные свойства универсума У.
; 13.
Каждое множество Уа транзитивно: если то
У (ЕУа (иными словами,
Допустим, что это неверно. Тогда должен существовать наименьший ординал а с Уа причем а >2. Если а не предельный,
а = Р+1, ХЕУ, т0 противоречие получается так:
потому что для р еЩе верно, что УеСУ9+1 [по [выбору а. Если а предельный, противоречие достигается аналогично (находим у <Г а
105
Определим ранг любого множества Х(~У\ ранг Х = а, если и это наименьший а с таким свойством. Если У(?Х, то ранг X > ранг У +1.
14.
Все ординалы, принадлежат У\ (ранг а) = а.
