Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Dn (х) + Dn(y)^Dn(x + y)^x + y^
<Dn(x) + Dn(y) + 2. 10-".
Доказательство. По определению, Dn (*) + Dn (у) принадлежит множеству десятичных дробей вида 10-пр, где p^Z, таких, что I0~np ^ х-\-у, при этом предложение 3.3 показывает, что Dn(x + у) есть наибольший элемент этого множества. Таким образом, Dn (х) + Dn (у) < Dn (х + у) ^ X + у. Далее, двукратное применение предложений 3.3 и 4.1 показывает, что x + y^Dn(x) + Dn(y) + 2- КГ*. ?
Из этого предложения видно, что Dn(x) + Dn(у) есть приближенное значение х + у с точностью до 2•1O-"; определение 4.1 сводится, таким образом, к введению суммы двух действительных чисел с помощью последовательности десятичных приближений, как это и реализуется на практике с применением все более мощной вычислительной техники. Но нужно иметь в виду, что десятичное приближение порядка п числа X + у необязательно равно Dn(x) + Dn(y): это затруднение связано с оставляемым «в уме» при выполнении сложения.
Предложение 4.3. Сложение действительных чисел ассоциативно.
4. сложение чисел. групповая структура $1
Доказательство. Для любых действительных чисел х, у, z находим с помощью повторного применения предложений 3.3 и 4.2:
Dn (х) + Dn (у) + Dn (Z) < (X + у) + z <
< Dn (х) + Dn (у) + Dn (Z) + 3 - КГ", Dn (х) + Dn(у) + D„ (*)<* + (*/ + *)<
< Dn (х) + Dn (у) + Dn (Z) + 3 . 10-".
Это доказывает, что (х + у) + z и х + (у + z) допускают одинаковые десятичные приближения с точностью до 101_л (так как 3- Ю-" < 101-"). В силу произвольности п равенство (х + у) + г = х + (у + z) вытекает из предложения 3.4. ?
Предложение 4.4. Для сложения действительных чисел нулевая БДД 0, 00 ... 0 ... является нейтральным элементом, и для любого действительного числа существует противоположное.
Доказательство. Обозначая через 0 нулевую БДД, получим
(Vx eR) X + 0 = sup (Dn (х) + 0) = sup Dn (х) = х.
n<=n я є= N
Тем самым 0 — нейтральный элемент. С другой стороны, для действительного X = X0, Xi, ... хп ... введем БДД у = г/о, У\ ... Уп определенную условиями
*/о = —1—*о и уп = 9 — хп при я>1. Если X не является десятичной дробью, то X + у = sup (D„(*) +A»(y))=sup(-1, 9 ... 9) = 0.
/г раз
Если X есть десятичная дробь Х = X0, Xi ... Xn 0 ... 0 ..., то г/ является несобственной БДД для десятичной дроби у\ такой, что г/' + х = 0.
В обоих случаях у действительного х имеется противоположное. ?
22
гл. i. поле действительных чисел
Теперь для действительного X можно определить его абсолютную величину:
IX | = sup (х9 — х)9
и без труда доказать неравенство треугольника
(V(x9y)t=R2) \х + у\^\х\ + \у\9
откуда следует также, что \у — х\7^\\у\ — Ml-
Чтобы иметь возможность резюмировать основные полученные результаты, напомним классическое определение.
^ Определение 4.2. Упорядоченной абелевой группой называется абелева группа (G,+)1), снабженная отношением линейного порядка, таким, что неравенство X ^ у влечет за собой
(Vz е G) X + 2 < # + z
(при этом из строгого неравенства х < у следует также строгое неравенство х + z < у + z).
Теперь мы можем подвести итог:
> Теорема 4.5. (R, +) есть упорядоченная абелева группа.
5. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
Для того чтобы получить возможность охарактеризовать подгруппы группы R и построить теорию измерения величин, удобно ввести понятие архимедовой группы.
^ Определение 5.1. Архимедовой группой называется упорядоченная абелева группа (G,+), такая, что для любой пары (а, Ь) элементов G9 где а > Og, существует /ieN, при котором па > Ь.
х) Если не оговорено противное, абелевы группы будут рассматриваться в аддитивной записи, нейтральный элемент в Q обозначаться через Oo или просто 0, когда это не ведет к путанице.
б. архимедовы группы
23
Изучение архимедовых групп основано на следующем утверждении, отражающем возможность «градуировать» G.
> Предложение 5.1. Пусть G— архимедова группа и а > 0 — ее элемент. Для любого jteG существует единственное целое р, для которого
ра^х<(р + I) а. (1)
Доказательство. По аксиоме Архимеда множество {n^N\na > х} есть непустая часть N1). Если через q обозначить ее наименьший элемент, то целое число P = q—1 будет единственным, для которого верно (1). ?
Основная теорема о гомоморфизме
^ Теорема 5.2. Пусть G — архимедова группа. Для каждого а > O0 из G существует единственный не-убывающий гомоморфизм ha из G в (R, +), такой, что Afl (а) = 1, и ha — строго возрастающий и потому инъ* ективный.
Доказательство проводится в несколько шагов.
а) Предварительные замечания, единственность. Пусть задан элемент ^gG. Так как группа G архимедова, то по предложению 5.1 существует единственная последовательность (рп) относительных целых чисел, такая, что
(ул є= N) рпа < 10пх < (1 + рп) а. (2)
Если гомоморфизм ha существует, то должно быть
К (рпа) < ha (10? < ha ((1 + Pn) a)t где ha (р па) = pnha (a) = рп, ha(lOnx) = 10? (*) и
ha ((1 + Pn) я) = 1 + Pn9 поэтому
(Mn є= N) 10~прп < ha (х) < 1(Г" (1 + Рп), (3) откуда, как мы сейчас увидим, следует, что
