Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через D множество относительных десятичных дробей и используем условие, согласно которому всякой десятичной дроби d = d0, d\ ... dn можно поставить в соответствие БДД d0, d\ ... dn0 ... ... О ..., получаемую из данной добавлением бесконечной последовательности нулей вслед за десятичными знаками d. Если 2) снабдить лексикографическим порядком, а на D рассмотреть естественный порядок, то, как легко видеть, задаваемое этим соответствием отображение /: D-»i0 есть строго возрастающее вложение.
Это вложение / называется каноническим; оно позволяет отождествить D с подмножеством в SD и срав-
14
гл. i. поле действительных чисел
нивать БДД с десятичными дробями. В частности, каждая БДД х = x0t Х\ ... Xn ... удовлетворяет неравенствам X0 ^ X < X0 + 1 и (Vn є N*) X ^ X0, Х\ ... хп.
Более того, если существует целое п ^ 1, такое, что Xn Ф 9, то также х < х0у Xx ... (хп + 1).
Теорема о верхней грани
Определение 2.1. Говорят, что подмножество Л линейно упорядоченного множества X имеет верхнюю грань l) Ь є Ху если
1) Ъ есть мажоранта Л, т. е.
(Vx є= Л) х < ft;
2) 6 есть наименьшая из мажорант Л, т. е. для любого a ^ X1 такого, что а < Ьу в Л существует элемент X со свойством X > а.
Если такой элемент b существует, то он единствен и обозначается sup Л.
> Теорема 2.3. Всякое непустое и мажорируемое подмножество Л множества 3) имеет верхнюю грань.
Доказательство. Пусть a = а0, ?i ... а„ ... есть некоторая мажоранта для Л. Если х = х0у Х\ ... Xn ... — произвольный элемент Л, то X ^ а и X0 ^ а0. Множество Л о = {d0(x) \х ^ Л} целых частей элементов из Л есть часть Z, мажорируемая числом а0; отсюда вытекает, что Л0 имеет наибольший элемент Ь0 (см. примечание в начале § 2).
Обозначим через S0 непустое множество, образованное теми элементами Л, целая часть которых равна boy т. е. B0 = [x<=i A\d0(x) = Ь0}\ поскольку десятичные знаки порядка ^ 1 суть целые, лежащие между О и 9, то можно положить
b{ = sup {dx WI^g B0}, Bx = [Xt= В0\ dx (х) = Ъх}
(Bx образовано теми элементами из S0, первый десятичный знак которых — наибольший возможный). Ин-
1J Наряду с термином «верхняя грань» употребляются также термины «точная верхняя грань» и «супремум». — Прим. пе* рее.
3. действительные числа. десятичные приближения Щ
дуктивно мы определяем последовательность (Bn) непустых подмножеств в Л и последовательность (Ьп I целых чисел 0 ^ bn ^ 9 при п ^ 1, такие, что (V/is 6N)
o/i+i = sup {^+1 (х) U є ?/i+i = (^?j dA+1 (x) = 6Я+1}.
По индукции проверяется, что Bn есть множество элементов X из Л, таких, что Dw(x) = ft0, b\ ... ft„ (см. обозначения в конце § 1). Любая мажоранта А не может быть меньше b = o0, b\ ... Ьп ... ; с другой стороны, по построению, b есть мажоранта для Л. Итак, b = sup Л. ?
Аналогично доказывается, что любое непустое и минорируемое подмножество S) имеет нижнюю грань.
Пример. БДД, образованную из последовательности нулей, обозначим /(4); множество S>~—{x& e 2D\x < І(0)} состоит из БДД с целой частью X0 < < 0. Его верхняя грань есть БДД (-— 1), 9 ... 9 .. все десятичные знаки которой порядков 1 равны 9. Множество JgH = {х&3)\х > /(0)} имеет своей нижней гранью /(0).
3. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Мы определим действительные числа с помощью их представления посредством БДД. Но сначала следует исключить БДД, называемые «несобственными».
Обозначения. Для каждого целого 0 ^ k ^ 9, через 9Ok обозначим совокупность БДД х = х0, х\ ... ... Xn ..., таких, что Xn = k для всех дг, начиная с некоторого (периодические БДД с периодом (&))• При k = 9 эти БДД будем называть несобственными.
В § 2 мы определили каноническое вложение / множества D в S)у образ которого / (D) очевидно есть Менее очевидно
16
гл. i. поле действительных чисел
Предложение 3.1. Отображение / множества D на ^)9, определяемое условиями
i(d) = {d— 1), 9...9..., если de=Z,
і (d) = d0, d{ ... dn_{ (dn —¦ 1) 9 ... 9 ..., если
d = d0i d{ ... dn, где dn ф 0, есть строго возрастающая биекция.
Для каждого d^u его образ i(d) будет называться несобственным десятичным разложением d, в то время как БДД j(d) —собственным.
Заметим, что всегда i(d) < j(d) и не существует БДД X1 для которой i(d) < х < j(d).
Каноническое вложение / позволило нам отождествить D с частью 3)\ обобщим теперь понятие числа, приняв
> Определение 3.1. Действительными числами называются элементы множества 2)\3)9, т. е. бесконечные десятичные разложения, в которых бесконечное число десятичных знаков отлично от 9.
^ Множество действительных чисел обозначается R9 и каждая десятичная дробь d отождествляется с действительным числом j(d).
Распространение на R теоремы о верхней грани
> Теорема 3.2. Каждое непустое и мажорируемое подмножество А с= R имеет в R верхнюю грань.
Доказательство. Пусть b — верхняя грань А в 2). Если Ъ<ф,2Ьъ, то Ь есть верхняя грань А в R. В противном случае Ь есть несобственное разложение десятичной дроби Ь' > Ь\ поскольку не существует БДД, лежащей между Ь и Ъ\ то Ъ' — наименьшая мажоранта А в iR, т. е. верхняя грань Л. ?
