Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
AaW = SUp(IO-VJ. (4)
_ « є= N
1J Здесь неявно предполагается, что х > 0; случай х < О также легко рассматривается. — Прим. перев.
24
fl|. т. поле действительных чисел
В самом деле, неравенство (3) показывает, что ha(x) является мажорантой множества P=? ={Ю~лрЛ«бЕМ» оно также показывает, что всякая мажоранта т множества P удовлетворяет условию ha (х)— 10~rt; действительное число b = sup (P) удовлетворяет, следовательно, неравенствам
(Vn є= N) К (х) - 1 (Г* < b < ha (х)9
откуда, применяя предложение 2.2 к действительному числу ha(x) — b9 получаем требуемое равенство Ь =
= ha (х).
Соотношение (4) доказывает единственность ha.
b) Построение ha. Для заданного элемента х є G пусть (рп)—последовательность целых чисел, определяемая неравенствами (2). Докажем, что существует действительное у9 такое, что при любом nsN выполнено Dn(y)= \0~npn.
Заменяя в (2) п на п + 1 и сравнивая полученное неравенство с (2), находим, что 1Opn(K. (І +рл+і)а и Pn+ia < 10(1 + рп)а9 откуда 1Opn < 1 + рл+і и рп+у < <10(1+рл), что равносильно неравенствам
10ря<ря+1<10ря + 9. (5)
Отсюда вытекает, что для любого /igN целое рп есть «число десятков» рп+\. Полагая г/о = Po и для каждого /igN Уп+і = Pn+i — lOpnt получаем 0 ^ ^ Уп+\ <9 и по индукции
(уп є= N) 10~арп = у09 ух ... уп.
Осталось доказать, что БДД уо, у\ ... уп ... не принадлежит 3)%. Но в противном случае существовало бы такое целое т, что при каждом п> m было бы уп = 9. Тогда мы имели бы
10"яря— 10~"wpm = 0, О^Л) 9^^9=10-"т-10Л
т раз (n—m) раз
откуда
(VAZ > m) \0~п(\ + = 1<ГЛ (1 + рт).
б. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
25
Положим 6 = (1+ Pm) а — Ютх\ применяя (2) к значению т, получим b > Ос, а также при л ^ т
Юп-тЬ = (1+рп)а-Юпх^а.
В силу произвольности целого п—т двойное неравенство
(уп>т) O0 < 10Л-т6<а
противоречит аксиоме Архимеда, которая справедлива для G.
Таким образом, у = y0t ух ... уп ... есть действительное число, для которого (V^eN) Dn(y)= 10~прп; тем самым у = sup I0~npnt и мы определим отобра-
жение Afl из G в Ry полагая
ка(х)-sup Ю'прп. (Q)
Неравенство (5) показывает, что последовательность Ю~прп возрастает1).
с) Свойства ha. Пусть X1 у — два элемента G, (рп) — последовательность целых чисел, определяемая неравенствами (2). Неравенства
Япа<Юпу<(1+ qn) а> гпа < 10я (х + у) < (1 + гп) а определят последовательности целых (qn)y (gn). Имеем
rna < (1 + рп)а + (1 + qn)a9 (1 +rn)a> рпа + qna, откуда
Гп < 2 + Pn + Яп> 1 + Гп > Pn + Яп,
что равносильно
Рп + Яп<гп^1+рп + яп. (7)
По определению haf применяя предложение 4.2, получаем
Ю~пгп<К(X + у)< Ю~п(rn + 1), КГ* (Pn + <7„) < К (X) + Лд (у) < 10"* (гя + 2),
1) Автор различает возрастание (неубывание) и строгое возрастание. — Прим. перев.
26
гл. i. поле действительных чисел
откуда, сравнивая с (7), найдем, что
КГ" (rn - 1) < A8 (X) + ha (у) < 10-" (rn + 2).
Это показывает, что для любого neN действительные числа ha(x + y) и ha(x) + ha(y) допускают одинаковые десятичные приближения с точностью до 2-10-".
Таким образом, выполнено равенство
(V (xt у) є G2) ha (X+ у) = К (X) + К (у),
показывающее, что ha есть групповой гомоморфизм; для доказательства того, что ha строго возрастает, достаточно показать, что из х > Oo вытекает ha(x)> >0.
Действительно, пусть X > O0 и (рп) по-прежнему обозначает последовательность целых, удовлетворяющих неравенствам (2). Тогда существует хотя бы одно целое п > 0, такое, что рп^1: в противном случае было бы \0пх < а для всех neN, что противоречило бы аксиоме Архимеда. Но при рп ^ 1 имеем ha (х) ^ 10-" и, значит, ha (х) > 0.
Теорема 5.2 полностью доказана. ?
> Следствие. Пусть G-архимедова группа. Для каждого ненулевого элемента а є G существует единственный монотонный гомоморфизм ha группы G в R, такой, что ha(a) = 1. Этот гомоморфизм является строго возрастающим при а > Oo и строго убывающим при а < Og- Следовательно, ha инъективен.
Случай а> Oq рассмотрен выше, случай а > Oo получается из него путем замены порядка на G на противоположный. ?
Теперь пришло время доказать
> Предложение 5.3. Группа R и ее подгруппы архимедовы.
В самом деле, пусть а, b — действительные числа, причем а > 0. Положим а = а0, а\ ... ап ... и b — = fto, b\ ... bn ...; найдется хотя бы одно я, такое, что CLn ^ 1. Тогда 10"Q ^ 1, откуда 11 + b0 \ Юпа > ft.
5. архимедовы группы
27
Следовательно, R архимедова, равно как и ее подгруппы; действительно, если а принадлежит подгруппе G группы R, то ей принадлежит и па при каждом
Теперь мы можем сформулировать
Предложение 5.4. Архимедовы группы суть упорядоченные абелевы группы, изоморфные подгруппам
(R,+).
Случай группы, состоящей из одного нейтрального элемента (нуля), не вызывает затруднений. Примеры подгрупп R имеются в упражнениях.
Приложение к теории измерения величин
Вернемся к вопросу об измерении величин, поднятому в § 1, и попытаемся сначала аксиоматизировать понятие «измеримой величины».
