Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. По определению отображение (fb: х*—>Ьх является обратным к hb. Действительное
2 Ж. Лелон-Феррак
34
ГЛ. г. полб действительных чисел
q = hb{o) удовлетворяет, следовательно, равенству a = bq. ?
Для того чтобы резюмировать полученные результаты, введем
Определение 7.2. Поле К называется упорядочен* ным, если оно снабжено отношением линейного порядка, таким, что (Ky +)—упорядоченная група и для любого элемента а > 0 из К неравенство у ^ х влечет а у ^ ах.
Теперь итоговая теорема может быть сформулирована так:
> Теорема 7.8. С введенными структурами порядка, сложения и умножения R является упорядоченным полем; каждое монотонное отображение ф: R->R, удовлетворяющее условию
(V(*. #)e=R2) ф(* + у) = ф(*) + ф(у),
имеет вид ф(х) = kx, k — const.
(Последнее утверждение следует из определения умножения.)
Замечания. 1) Если х, у — положительные действительные числа, то
Dn (х) Dn (у)<ху<{\0"" + Dn (X)) (10-" + Dn (у)) <
< Dn (х) Dn (у) + Ю-" (D0 (х) + D0 (у) + 3). Отсюда легко выводим, что
ху = sup Dn (х) Dn (у); (5)
л є= N
при X < 0 или у < 0 это соотношение теряет силу.
По аналогии с определением суммы двух действительных чисел мы могли бы определить произведение положительных действительных чисел равенством (5)\ Тогда произведение чисел любого знака определялось бы по «правилу знаков». Но этот способ ведет к более длительным вычислениям, чем данный здесь (см, [LF2] ).
2) Можно заметить, что при нашем построении поля действительных чисел частное a/b = hb(a) двух
7. АВТОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ (R. +). СТРУКТУРА ПОЛЯ 35
чисел введено фактически раньше их произведения ab = фа(6). Это связано с тем, что частное g/u двух измеримых величин (равное по определению мере величины g при выбранной единице измерения и) имеет физический смысл, которого нет у их «произведения»,
Существование квадратичного корня
> Теорема 7.9. Каждое положительное действительное число имеет единственный положительный квадратный корень (и, следовательно, единственный отрицательный квадратный корень).
Доказательство. Заметим прежде всего, что если а, b — два положительных действительных числа, то неравенство а2 > Ь2 равносильно неравенству а > Ь; единственность положительного квадратного корня этим устанавливается. Остается доказать его существование.
При данном действительном х > 0 положим для каждого /igN
P„ = {pe=Ni(lO-»2<4
Легко видеть, что Pn имеет мажоранту 10"(1 -f-#o), где Xq = Do{x) — целая часть х. Обозначим через рп наибольший элемент в Pn. Для каждого лє^ будем иметь
(l0-npny^x<(\0-n(l+pn))\ (6)
откуда, поскольку целые рп положительны,
(у (т, п) є= N2) 10"? < 10"т (1 + Рп).
Итак, множество {l0~npn}nf3f4 мажорируемо и его верхняя грань у удовлетворяет неравенствам
(V* є N) 10~пра < у < КГЯ (1 + Рп). (7)
Из сравнения с (6) мы видим, что действительные числа X и у2 оба допускают (10~прп)2 как приближенное значение с точностью до гп= 10-2"(1 + 2рп)\ если обозначить через b целое число, мажорирующее последовательность (10"пр,і), то будем иметь
ел<10-п(1+2*).
2»
36
ГЛ. Г. ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В силу произвольности п, предложение 3.4 влечет равенство у2 = х.
С учетом (6) мы видим тогда, что первое неравенство (7) можно заменить строгим неравенством; отсюда вытекает, что I0~npn есть десятичное приближение порядка п для у = л/х.
Этим объясняется, почему практически в процессе «извлечения квадратного корня с точностью до 10~п» получается собственное десятичное разложение квадратного корня (аналогичное замечание можно сделать по поводу операции деления, см. упр. 1.2).
8. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R КАК ПОЛЯ
Понятие упорядоченного поля1), введенное в предыдущем параграфе, позволяет уточнить некоторые свойства R, а также охарактеризовать R как архимедово поле. Напомним сначала, что характеристика поля K1 обозначаемая саг K1 равна 0 или наименьшему р є N*, такому, что pa = 0К для всех а е K1 и заметим, что существование ненулевого элемента а в K9 такого, что ра=0Кі влечет рх — 0 для всех х е К (так как рх = (ра) (а~1х)). Имеет место следующее
Предложение 8.1. Любое упорядоченное поле K1 в частности К, имеет характеристику нуль.
Доказательство. Если К упорядочено, то соотношения п ^ 1 (^gN) и а>0/( влекут па > 0К; поэтому на Ф Ok и К — поле характеристики нуль.
Но в поле характеристики нуль любой элемент вида P'I/o где р — ненулевое целое, имеет обратный, обозначаемый просто р~1 или 1/р; отсюда для любого х^К следует существование элемента у = р~]х, для которого ру = х. Полагая р = 2, получим
Следствие. Каждое упорядоченное поле не имеет дыр.
х) В оригинале употреблено слово corps, т. е. тело; но в § 7 было дано только определение упорядоченного поля, и дальше, по существу, речь идет о полях (см. упр. I. 10). — Прим. перев*
8 упорядоченные поля. характеризация r как поля 37
В самом деле, если х < у, то действительное г = = 1A(^ + у) удовлетворяет условию X < Z < у.
