Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что с учетом отождествления D с 2)0 для любого действительного числа х = Xo1 Х\ ... Xn ... имеем
X = sup Dn (х), где Dn {х) = xQt X1 ... хп. (1)
п <==N
3. действительные числа. десятичные приближения 17
Десятичные приближения действительного числа
^ Определение 3.2. Если X = Xq, х\ ... Xn ... — действительное число, то десятичная дробь Dn(X)=Xo1 х\ ... Xn называется десятичным приближением порядка п числа х.
Предложение 3.3. Dn(x) есть единственная десятичная дробь вида 10~пр, где рє/, удовлетворяющая неравенствам
Dn(X) *?х <Dn(x)+ КГ*. (2)
Доказательство. Левое неравенство очевидно; правое вытекает из того, что Dn(x) + 10~п равно Xq + 1,
єсли х\ = Х2 = . . . = Xn = 9, и Xq, х\ . . . (хр + 1 ) в остальных случаях, где р — наибольшее целое ^ п, такое, что Xp Ф 9.
Можно также воспользоваться тем фактом, что несобственное разложение десятичной дроби Dn(x) +
+ Ю-" єсть Xq1 х\ ... хп9 ... 9 ... .
С другой стороны, если бы для двух целых р, pf выполнялись условия
10"rtp<x< W~np + КГ* и
іо"У <*< io~V+ кг",
то из них вытекало бы, что
р К 1 + р' и р' К 1 + pf откуда р' = p. U
> Определение 3.3. Пусть d и є — две десятичные дроби. Говорят, что d является десятичным приближением действительного числа х с точностью до е, если d—г ^ X ^ d + є 1).
Из вышеизложенного видно, что Dn(x) есть приближенное значение X с точностью до 1O-"; очевидно, что это приближение не единственное.
Следующее предложение позволяет устанавливать равенство действительных чисел без знания соответствующих БДД.
> Предложение 3.4. Для того чтобы два действительных числа х, у были равны, необходимо и доста-
1J У автора точнее: «с точностью не менее чем до е». — Прим. перев.
18
гл. i. поле действительных чисел
точно, чтобы при каждом п є N они допускали одинаковое десятичное приближение с точностью до 10~п.
Доказательство. Необходимость условия следует из того, что равенство у = х равносильно (Vn є N) Dn (х)— = Dn(y).
Для доказательства достаточности рассмотрим действительные числа х, у, которым можно сопоставить последовательность (dn) десятичных дробей, удовлетворяющих условиям
(V/i gN)4~ Ю"я<X<dn + КГ",
dn-lO-n^y^dn+lO-n.
Тогда для любой пары целых чисел (р, q) є N2 имеем
dp — lO~p^x<Dq(x)+ КГ* и y<;dp+ 10~р, откуда
(VP є N) D^to) <Dg (X)+10-^ + 2-ЮЛ что влечет за собой
A7 (у) - A7 (х) - 10"* < Inf 2 . 10"р = 0.
Положим X = X09 Х\ ... Xn поскольку Xф^)9, для каждого п є N найдется целое q > п9 такое, что Xg ф 9, и поэтому
А* (у) <^ (У) <^ W + Ю~9=*о, *i .. ¦ Xn ... (xv+l).
Следовательно, при всех ^gN
Аі(уХ*о. Xx ... Xn = Dn(X)
и у ^x. Меняя ролями X и у, найдем также, что х ^ ^ у, и, значит, у = х. D
В завершение этого параграфа установим > Предложение 3.5. Множество R несчетно.
Рассуждая от противного, предположим, что все действительные числа можно расположить в виде последовательности (xa)aeN; пусть ха,п при каждом п е
4. сложение чисел. групповая структура 19
е= N обозначает п-& десятичный знак ха. Для каждого п можно выбрать уп отличным от хп, п и лежащим между 0 и 8 при n^l. Тогда БДД у = y0l ух ... уп ... есть действительное число, не принадлежащее последовательности (ха), что противоречит допущению. ?
4. СЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ГРУППОВАЯ СТРУКТУРА
ПуСТЬ X = Xq1 Xi ... Xn... и t/ = t/o, (Ji ... Уп ... —
два произвольных действительных числа. При каждом neN имеем
Д,(*Х*<*о+ 1, Оп(у)<У<Уо+1.
Множество десятичных дробей вида Dn(x) + Dn(y) мажорируется, таким образом, числом X0 + yQ + 2 и имеет в R верхнюю грань; это позволяет нам дать следующее
^ Определение 4.1. Суммой двух действительных чисел X9 у называется действительное число, обозначаемое X + У и определяемое как1)
x + y = sup(Dn(x) + Dn(y)). (1)
л є= N
Это определение оправдано тем, что в случае, когда X и у — десятичные дроби, данное определение дает их обычную сумму; действительно, в этом случае возрастающие последовательности Dn(x) и Dn(у) стационарны2), и при достаточно больших п имеем Dn(х) = = х, Dn(y)=y.
Свойства сложения
> Предложение 4.1. Сложение действительных чисел коммутативно и для любых X1 у, Z1 таких, что X-^Ly1 имеем
X + z < у + z. (2)
1) Если бы мы определили топологию на R1 то могли бы также ввести сумму равенством х + у = Hm (Dn {х) + Dn (у)).
2) Напомним, что последовательность называется стационарной, если найдется целое р, такое, что хп = хр при любом п ^ р.
20
гл. i. поле действительных чисел
Доказательство. Коммутативность сложения действительных чисел следует непосредственно из определения 4.1 и коммутативности сложения десятичных дробей.
С другой стороны, неравенство х <; у влечет за собой Dn(x)^: Dn(y) для всех /ieN, поэтому для каждого действительного г
Dn (х) + Dn (г) <Dn (у) + Dn(Z)^y + z.
Отсюда получаем (2), взяв верхнюю грань левой части последних неравенств. ?
Предложение 4.2. Для любых действительных X1 у при каждом п є N выполняются неравенства
