Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Po^<g<(l + Po) и. (1)
Ошибка, допускаемая при замене g на рои, таким образом, меньше единицы и; для получения лучших приближенных значений для меры g берут все меньшие и меньшие «единицы».
Применяя десятичную систему счисления, единицу каждый раз делят на 10; при этом Un = 10~пи называется десятичной единицей п-го порядка. При этой новой единице измерения приближенной мерой g (по недостатку) служит единственное целое число рп, удовлетворяющее неравенствам
PA<g<(l +Pn) tiny
1) Напомним, что свойство некоторого объекта называется характеристическим, если он является единственным объектом с этим свойством.
1. бесконечные десятичные дроби
11
или, что то же самое,
10"1PnIi^g <10~п(I+рп)и.
Десятичная дробь Dn- \Ъ~прп называется приближенной десятичной мерой g порядка п.
Можно отметить (доказательство дается дальше), что переход от дроби Dn к дроби Dn+\ сводится к добавлению к Dn одного нового десятичного знака. Все десятичные дроби Dn имеют, таким образом, одну и ту же целую часть D0 = ро, и существует бесконечная последовательность (dn)n>l целых чисел, принимающих значения от 0 до 9, таких, что для любого п ^ 1
_ п
Dn = D0 + 0, Cl1Cl2 ... dn = D0 + Z Ю~Ч.
Для удобства мы примем следующее соглашение (используемое в таблицах логарифмов):
Обозначения. Для любой системы l) (d0) du ..., dn) целых чисел, такой, что dQ^Z и 0^dk^9 при всех 1, символ d0, d{d2 ... dn представляет десятичную дробь
п
tfo + 0, dxd2 ... dn = d0+ Z Ю"Ч-
k=\
Очевидно, что каждая десятичная дробь может быть записана в таком виде и притом единственным образом, если наложить условие (апф0 либо п=0). Однако следует быть начеку при записи противоположного числа: например, противоположным к 2,34 будет (—3), 66.
Теперь мы готовы дать
^ 2) Определение 1.1. Бесконечной десятичной дробью (сокращенно БДД) называется последовательность (jcn)ftSN относительных целых чисел, удовлетворяющих условиям 0 ^ Xn ^ 9 при такая последовательность записывается в виде х = х0у Х\ ... Xn ... .
1J Слово «система» употреблена в смысле «конечная последовательность».
2) Этим символом помечены наиболее важные формулировки. — Прим. пере в.
12
гл. i. поле действительных чисел
Целое Xn называется десятичным знаком х п-го порядка и обозначается dn{x)\ десятичная дробь хо> Xi ... Xn обозначается Dn(x)\ относительное целое число Xo называется целой частью х.
Например, (—2), 0...0... и (—2), 9...9... суть БДД с целой частью —2.
Множество всех БДД будем обозначать 2)\ мы положим его в основу построения поля действительных чисел. Понятно, что аналогичное построение можно было бы осуществить в системе счисления с любым основанием.
2. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК НА 2)
Для равенства двух БДД х и г/, по самому определению, необходимо и достаточно, чтобы dn(x) = dn(y) при всех N. Если уФX1 то множество целых пє gN, таких, что dn(x) Ф йп{у), следовательно, не пусто; значит, в нем найдется наименьший элемент1), для которого имеет место одно из двух неравенств: dn(x) > dn(y), dn(y) > dn(x).
> Предложение 2.1. Полагая у х, если у = х или если для наименьшего целого п, такого, что ап{х)ф фап(у)у выполняется dn(y)>dn(x), мы устанавливаем на 2) отношение линейного порядка.
Доказательство. Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и антисимметрично. Для доказательства его транзитивности достаточно рассмотреть три БДД X1 у, г, для которых у > х и z> у. Обозначая через m (соотв. п) наименьшее целое, такое, что ат(у)Ф dm{x) (соотв. dn(z) Ф dn(y)), положим р — = inf(m, п). По предположению, для всех k < р имеем dk{x)—dk{y)=dk{z)\ смотря по тому, будет ли р = т или р=пу окажется верным одно из неравенств dp {y) > dp(x) или dp(z) > dp (у). В обоих случаях dp (г) > dp(x) и, значит, г > х.
Наконец, замечание, сделанное перед предложе-
') Мы пользуемся тем фактом, что любая непустая часть N содержит наименьший элемент, т. е. N — «вполне упорядоченное» множество. Далее используется и то, что любая мажорируемая часть N или Z содержит наибольший элемент.
2. лексикографический порядок на & 13
ниєм 2.1, показывает, что любые две БДД ху у сравнимы, и, следовательно, заданный порядок является линейным. ?
Определенное таким образом отношение порядка на Ф сходно с тем, которое применяется при расположении слов в словарях: слова рассматриваются как конечные последовательности букв в алфавите, упорядоченном от А до Z. По этой причине порядок, установленный на 3), называется лексикографическим. Заметим, что понятие лексикографического порядка распространяется на любое множество последовательностей, элементы которых принадлежат линейно упорядоченному множеству.
Из этого определения немедленно вытекает
^ Предложение 2.2. Если х — БДД, для которой
(Vtt<=N) 0<х<ЮЛ
то X есть нулевая БДД (образованная последовательностью нулей).
Доказательство. В силу определения упорядоченности все десятичные знаки х равны нулю. ?
^ Заметим, что неравенство у ^ х равносильно неравенству
(V/iesN) Dn(y)> Dn(x). Каноническое вложение / множества D в S
