Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
/(X) = F-(X). (11.35)
11.3. Непрерывные случайные величины 207
Рис. 11.1. График функции распределения непрерывной случайной величины
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Отсюда справедливо равенство
Р(а <Х <?) = jf(x)dx. (11.36)
Связь между функцией распределения (11.30) и плотностью распределения вероятностей устанавливается формулой
F(X) = P(X <х) = \f(z)dz.
(11.37)
Укажем основные свойства плотности распределения вероятности: I. /<*)>0. (11.38)
Jf(X)ClX = L
<11.39)
Это равенство означает достоверность того события, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (-°с, да). Если все возможные значения случайной величины X лежат внутри интервала (а, Ь), то
(11.40)
11.3.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит
208 Глава 11. Случайные величины
в том, что вместо сумм в формулах (U.9) и (11.14) берутся их интегральные аналоги. Формулы для математического ожидания и дисперсии
M(X) = \xf(x)dx. D(X) = J[Jr-M(X)IVCv) dx. (11.11)
В том случае, когда возможные значения случайной величины А'заполняют всю ось О.т, то пределы интегрирования а и h бесконечны: а = -то, й = оо. Возможны также случаи, когда одни из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения X лежат на полупрямой).
Среднее квадрати чес кое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле (11.19):
Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула, которая выводится из второй формулы (11.41):
Пример 9. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадраті і чес кое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке JO1 1]:
Решение. Согласно формулам (11,41), (11-42) и (11.19), последовательно вычисляем искомые величины:
ь
а(Х) = ЩХ).
(11.42)
/(JT)=I1 Jf6[O1 1|.
М(Х) = \х f(x)dx=\xdx=-x7
О (і
D(X) = \x7f(x)dx-[M(X))1 =\l'Z Л--<У2>* 4"I=To-
с(Х) = VD(X) = 1/2V3 * 0.289.
11,4. Основные распределения непрерывных случайных величин 209
11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин
11.4.1. Равномерное распределение
Определение 1-і. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.
Из равенства {11.39) следует, что плотность равномерного распределения дается формулой
[0, X >Ь.
График плотности равномерного распределения приведен на рис. 11.2.
\f(h - а)-------,
Пример 10. Найти среднеквадратичен'кое отклонение случайной величины Л', распределенной равномерно на интервале (). 5).
Решение. Согласно формуле (1 143), плотность распределения указанной случайной величины является ненулевой и равной 0,25 на интервале (1,5). По формулам (11.41) и (11,42) последовательно вычисляем при а = 1 и b = 4:
0, .V < а /(х)= 1/(/; - я). а<х<Ь,
(11,43)
0
а
ь
X
Рис. 11.2. График плотности равномерного распределения
210 Глава 11. Случайные величины
11.4.2. Нормальное распределение
Определение 15. Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины X называется распределение с плотностью
/(дг) = —J=tf-('-,,/le'. (11.44)
График плотности нормального распределения (11.44) для равных значений а показан нарис. 11.3.
О a. *
Рис. 11.3. График плотности нормального распределения (11.44) для разных значений и
Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и а. По определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (11.41) и (11.42)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нормального распределения справедливы формулы
Л/ (X) = a, D (X) = с?, a (X) = a. (11.45)
Определение 16. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и О" = 1 называется нормированным; его плотность
f(x) = -±=e-™. (П.46)
Для случая нормированного нормального распределения функция распределения имеет вид
F(x)= \f(z)dz = ^= |V*Vi dz. (11-47)
і J2n L
11.4. Основные распределения непрерывных случайных величин 211
Поскольку функция (11.46) является четной, то неопределенный интеграл от нее является нечетной, и вместо него используется функция Лапласа, часто обозначаемая как jV(0, 1) (см. 10.4.2)
0(.r) = -jL|ff-,Vi аг. (11.48)
Функции (11.47) и (11.48) табулированы (см. приложение 2).
В заключение этого раздела приведем две важные характеристики.
Модой M0(X) называется возможное значение случайной величины А', при котором плотность рас наделения имеет максимум. Медианой Мй (X) называется такое возможное значение случайной величины X1 что вертикальная прямая х = M0 (X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.
Пример 11. Магазин продает мужские костюмы. Поданным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадраті і ческим отклонением, равными 48 и 2 соответственно. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).
