Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Интервал D называется областью принятым гипотезы Hq, а оставшаяся область числовой оси - критической областью. В ряде случаев за область D принимают одни из интервалов: (-<», f ]. it(J, [івр, ао), і де число ^1, — критическое значение теста проверки. Соответственно этим промежуткам критерий проверки называется правосторонним, двусторонним или левосторонним. Соответствующие области отклонения гипотезы На: (гь.р, да), (-», -^) U (tKp, ю) и (-00, C4,).
5. По реализациям анализируемых теоретических выборок вычисляется конкретное (наблюдаемое) значение теста Г (обозначим его tf) и проверяется выполнение условия (12.16): если оно выполняется, то гипотеза //а принимается в том смысле, что она. не противоречит опытным данным: если же условие (12.16) не выполняется, то полагается, что гипотеза H0 неверна и вероятность этого события определена неверно.
Из представленной ранее схемы следует, что при проверке гипотезы Wn возможны следующие ошибки:
• ошибка переогорода — отвергнуть гипотезу H0 при ее правильности, вероятность этой ошибки равна а;
• ошибка второго рода — принятие гипотезы H9 при правильности альтернативной гипотезы H1.
Пусть вероятность ошибки второго рода равна ?, тогда число 1 - ? называют мощностью критерия. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность ошибки второго рода. При выбранном уровне значимости критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.
Можно показать, что в случае ограниченного интервала области принятия гипотезы Я0 (двусторонней критической области) существует связь интервала D, определяемого по (12.15), с доверительным интервалом, определяемым по формуле (12.14).
12.3.3. Типы статистических критериев проверки гипотез
Любой критерий не доказывает справедливость проверяемой гипотезы 11(,, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согла-
12.3, Статистические оценки статистических гипотез 229
сие или несогласие с данными наблюдений. Укажем здесь наиболее употребительные критерии проверки статистических гипотез:
1. Критерий %2, или критерий Пирсона.
2. Критерий Стьюдента.
3. Критерий Фишера.
4. Критерий Колмогорова,
Обычно один из указанных критериев и употребляют при составле-' нии теста критерия проверки (см. п. 4 схемы проверки в предыдущем разделе). Основой для составления соответствующих формул критериев Пирсона, Стьюдента и Фищера являются соответствующие соотношения (11.49), (11.51) и (11.53).
Рассмотрим примеры проверки статистических гипотез с использованием критериев X2 и Стьюдента.
Пример 8. Заданы эмпирические и теоретические частоты (ni и «') при числе групп выборки.? = 8:
м, 6 13 38 74 106 85 30 14 п\ 3 14 42 82 99 76 37 13
При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу Я;, о нормальном распределении генеральной совокупности.
Решение. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле
XlL=Ic«,-О1/»,. (12.17)
или, что то же самое, по упрошенной формуле
XL =?(«,/«;>-". 02-18)
,•і
где п = ^"' ^S"' - объем выборки. В нашем случае л = 366. Используя данные исходной таблицы, получаем:
XiL = 36/3+ ЩЇ4 + 1444/42 + 5476/82 +11236/99+ 7225/76 + + 900/37 + 196/13-366 -37319-366 =7,19
Далее находим число степеней свободы А = .ї-3 = 8-3 = 5 (число групп выборки минус один — это число степеней свободы распределения Пирсона — и минус еще два, так как нормальное распределение
230 Глава 12. Элементы математической статистики
характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием и дисперсией). По таблице критических точек распределения у? (приложение 3) по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы 5 находим критическое значение теста xlf> - 11Л Гак как X^11 < Z^1,, то оснований отвергать нулевую гипотезу H0 нет, т. е. расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Иными словами, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит данным наблюдений.
Пример 9. Для независимых наблюдений .т,,.^, .~,хл проверим гипотезу H0: математическое ожидание т = т0 при двусторонней альтернативной гипотезе Ну. т * та. Уровень значимости а задан.
Решение. Ь* качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
T = (x-mf))jrn7I. (12.19)
где s — оценка среднего квадратического отклонения. Величина T имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы. По таблице распределения Стьюдента при заданном я находим критическую точку г,_ц = t определяющую доверительный интервал
Pi]T(Jt-Ut1,) = р = \-а.
Тогда критическая область определяется неравенством ] Т(п - \)\ > t . Гипотеза Iin не отклоняется на уровне значимости а, если
](х-mt)Jnfs\<tp или In0 e(.r ~tp sj-fn, х •t tр sj¦Jn). (12.20)
В противном случае, если гипотетическое значение т0 не покрывается доверительным интервалом (12.20) с заданной надежностью/), то гипотеза H0 отклоняется.
Упражнения
12.1. Найти групповые средние совокупности, состоящие из двух ФУ im:
1-я iTjyniia .т, 0,1 0,4 0,6
