Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
M {X) = 5 ¦ 0,00032 + 4 - 0,0064 >- 3 ¦ 0,0512 + + 2 ¦ 0,2048 + 1 ¦ 0,4096 + 0 ¦ 0,32768 = 1.
Укажем основные свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины С равно С:
11.2. Числовые хараістеристики дискретных случайных величин 201
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания;
M(CX) = CM(X). (11.9)
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
JVf(X1 +X1 +•¦¦+X.) = M(X1)+JW(X1)+- +M(X.). (11.10)
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
M(X1 X, ... X11 ) = M(X1 JM(X7)... M(X11). (11.11)
Пример 5. Пусть ежедневные расходы на обслуживание н рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс.. ден. ед., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0.1 0,05 0,05 0,025 0,025
Найти математическое ожидание, ежедневной прибыли при пене машины а 150 тыс, лен. ед.
Решение. Ежедневная прибыль подсчнтывастся по формуле:
K = (ISOX- 120).
Искомая характеристика M(U) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тыс. ден. ед.):
M (П) = M(ISOX- 120)= 150M(X)- 120 = = 150-2.675- 120=281,25.
11.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины
Определение 6. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X - M(X).
Определение 7. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием:
D(X) = Af[X-M(X)J1. (11.12) Формула дисперсии в развернутом виде:
D(i) = I*, -M(X)I1P1+[i2 -М(Х)1гр, + ...+ (1L13) + {X^M(X)]1Pn.
202 Глава 11. Случайные величины
При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (11.13):
D(X) = M(X1^-[M(X)]1. (И.И)
Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.
Решение. Закон распределения случайной величины имеет вид X- 0 1 4 9 IR 25 36 49 64 81 P 0,25 0,2 0.1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025
Математическое ожидание M(Xі) подсчитывается из этой таблицы:
^(^) = 0-0,25+1 • 0.2 + 4-0,1 + 9¦0,I + 16 ¦ 0,1 + 25 - 0,1 + + 36 ¦ 0.05 + 49 ¦ 0,05 + 64 • 0,025 + 81 ¦ 0,025 = 13,475.
Математическое ожидание M (X) = 2,675. Следовательно, согласно формуле (11.14), получаем искомую величину дисперсии:
D(X) = М(Х')-[М(Х)\* = 13475 -7,156 =6,319.
Приведем основные свойства диснерспн.
1. Дисперсия постоянной величины С равна пулю:
ZJ(Q = O. (11.15)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX)=C D (X). (11.16)
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(Jf1 + X2 + ... + Xn) = D(X1)+D(X,)+...+ D(Xn). (11.17)
Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D(X+ С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле
D(X) = мр(1 - р) = npq. (11.18)
Приведем здесь еще два важных результата: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (11.6), математическое ожидание и дисперсия равны параметру X данного распределения.
11.2. Числовые ха pa irre ристики дискретных случайных веп ичин 203
Пример 7. Банк иыдал кредиты п разным заемщикам в размере 5ден. сд. каждому под ставку ссудного процента г. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли байка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна р.
Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери кредити для банка в каждом испытании равна q = 1 -р. Пусть X — число заемщиков, возвративших кредит- со ссудными процентом, тогда прибыль банка определяется формулой
\\ = (\ + ri\№)SX-nS.
X является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда математическое ожидание прибыли, согласно (U.7), равно:
W(H)=(I + г/100) J-М(Х)-лУ = (1 + r/iOO)Snp-Sn = Sn(rp/l№-q).
Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), го из условия M(U) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента
r>\U0q/p или г> 100(1-р)/р.
Дисперсия прибыли банка, согласно формуле (11.18) и свойствам 1-3,
Д(П) = D(O + r/\0Q)SX -nS) = (1+ r/100)2 S2npq. 11.2.3. Среднее каадратическое отклонение
Определение 8. Средним квадратнческим отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии
G(X) = VD(X). (11.19)
Из свойства 3 н формулы (11.17) следует, что в случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула
G(Xx +X, +... + Xn) = (X1) + а1 (Х7)+~1^Г(~Х~). (11.20)
