Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 12.3. Пример гистограммы выборки объема г) -100
222 Г ла ва 12. Элементы мате магической статистики
сителькых частот равна единице (сумме относительных частот выборки ).
12.2. Статистические оценки параметров распределений
Рассмотрим значения количественного признаках,,Tj1.... х„ в выборке как независимые случайные величины X1, X2,.Vn. Тогда нахождение статистической оценки неизвестного параметра теоретического распределения означает отыскание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра.
12,2.1. Виды статистических оценок
Несмещенной называется статистическая оценка 9*. математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру 0 при любой выборке;
M (?,) = 9. (12.5)
Смещенной называется оценка, при которой условие (12.5) не выполнено. Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п Состоятельной называется статистическая оценка типа (12.4). которая при х> стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего — это средние. Генеральная средняя для изучаемого количественного признака X по генеральной совокупности
Xt = (Х, +X.j + ... + Xn)/ N
и выборочная средняя
*п = (*| +¦V3 -+ - 1 X1)/ П.
Ксли значения признака xtI х2,.... xk в выборке имеют, соответственно, частоты пи щ,.... nk, то последнюю формулу можно переписать в виде
=. =-І>,т,. (12.6)
я 1-і
Можно показать, что выборочная средняя (12.6) является несмещенной оценкой; это аналог математического ожидания случайной величины А%.
12 2. Статистические оценки параметров распределения 223
Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение значений количественного признака А' от своего среднего значения. Это генеральная дисперсия и выборочная дисперсия
(127)
Для вычисления этих характеристик используются более удобные формулы, аналогичные дисперсии случайной величины; так, вторая формула (12.7) для выборочной дисперсии принимает вид
1 p=I
Соответственно определяются генеральное и выборочное средние квад-ратические отклонения:
о, =VO7°„ - Ж- (12.9)
Пример 4. Выборка задана таблицей распределения
.г, 12 3 5 я, 15 20 10 5
Найти выборочные характеристики: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. По формуле (12.6) сначала находим.?,:
15-1 + 20-2 +Ю-3 + 5-5 ПО п„
je =----=-= 12.
15(-20 + 20 + 5 50
Затем по формулам (12.8) и (12.9) находим две другие искомые величины:
D, =(15-1 + 20-4 + 10-9 + 5-25)/50-2^- = 6^-4,84 = 136, а„ =^1Т = 1/Ш * 1,166.
12.2.2. Эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборок используют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка $ называется
224 Глава 12. Элементы математической статистики
среднее значение 5-х степеней разностей .г, - С, где х, — наблюдаемая варианта, С — произвольная постоянная (ложный нуль — либо мода, либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда):
К =-І>іСг.-С)\ (12.10)
я 7Л
При C=O имеем начальные эмпирические моменты порядка s; в частности, в случае s = 1
Центральным эмпирически,* моментом порядка х называется обычный момент (12.10) при С = .v„:
В частности, центральный момент второго порядка
т., =-Zn,(x, -х,)3 =Пг. (12.12)
иными словами, это совпадает с выборочной дисперсией.
12,2.3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют следующие характеристики.
Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:
= *hfa\\. (12.13)
Эксцесс элтнрического распределения определяется следующим равенством:
е, = m,hl -3. (12.14)
В формулы (12.13) H (12.14) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (12.11), а также выборочное среднее квадратнческое отклонение (12.9). Асимметрия и эксцесс служат для сравнения полигона эмпирического распределения с нормальным
12.2. Статистические оценки параметров распределения 225
распределением: знак а, указывает на расположение длинной части ломаной относительно математического ожидания (справа при as > О и слева при аБ< 0); C1, характеризует «крутизну» ломаной (при ек > 0 сравниваемая кривая более высокая и острая, при ^ < 0 она более низкая и плоская).
Пример 6. Найти асимметрию и эксцес эмпирического распределения:
варианта 1 2 3 4 5 6 10 частота 5 10 15 35 16 15 4
Решение. Найдем сначала .т„ и о„ по формулам (12.6)-(12.9): _ 5-1+ 10 ¦2+ 15-3+35-4 + 16-5 + 15-6 + 4-10 ,_
X — ¦--._________ ^______—
5 +10+15 + 35 + 16 + 15 + 4 _ 5 ¦ 1 + 20-4 + 15-9 + 35 ¦ 16 + 16-25 + 15 ¦ 36 + 4-100 .ої u = —-"ТОО "~- = Д56.
о, = л/356 = 1387.
Далее, используя формулы (12.11). определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:
