Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
И.16. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.
11.17. Случайная величина X распределена нормальна с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания А' в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания X в интервал (35, 40).
Глава 12
Элементы математической статистики
Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика*-, однако задачи, решаемые ею, носят специфический характер. Если теория вероятностей псслелуег явления, полностью заданные их моделью, то в математической статистике вероятностная модель определена с точностью ди неизвестных параметров. Отсутствие сведений о параметрах компенсируется « пробными» испытаниями, на основе которых и uoccnu ja вливается недостающая информация. Цель математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
Первая задача математической статистики состоит в указании методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов пли наблюдений. Вторая задача—это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функций и параметров распределения; опенка зависимости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из :>тих вопросов.
12.1. Выборочный метод 12.1.1. Выборки
На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят краппе редко. К тому же, если эта совокупность содержит большое число объектов или исследование объекта требует нарушения его функционального стандарта, то сплошное
12.1. Выборочный метод 217
исследование нереально. В та к и к случаях пз всей совокупности случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их исследованию.
Введем основные понятия, связанные с выборками. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.
Пример 1. Пусть из 2000 изделий отобрано для обследования 100 изделий. Тогда объем генеральной совокупности JV= 2000. а объем выборки я = 100.
Выборку можно осуществлять двумя способами. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной (возвратной); если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной (безвозвратной).
Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности.
12.1.2. Способы отбора
Различают два вида способов отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому виду относятся простые случайные отборы (повторные либо бесповторные), когда объекты извлекают по одному из генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел.
Второй способ отбора включает в себя следующие разновидности соответственно способам расчленения генеральной совокупности, Отбор, при котором объекты отбираются из каждой «типической» части генеральной совокупности, называется типическим. Например, отбор детален из продукции каждого станка, а не из их общего количества, является типическим. Если генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой qjyuni.i по одному объекту, m такой отбор называется механичеаат. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются не по одному, а сериями; этот способ используется, когда исследуемый признак имеет незначительные колебания в различных сериях.
На практике часто употребляется комбинирование перечисленных способов отбора. Например, генеральную совокупность разбивают
218 Глава 12. Элементы математической статистики
на серии одинакового объема, затем случайным образом отбирают несколько серий и в завершение случайным извлечением отдельных объектов составляют выборку. Конкретная комбинация способов отбора объектов из генеральной совокупности определяется требованием репрезентативности выборки.
12.1.3. Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение X1 некоторого исследуемого признака X наблюдалось Ti1 раз, значение х2 - п2 раз, значение т*-я> раз. Значения X1 называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа П) называются частотами, а их отношения к объему выборки
— относительными частотами. При атом п, = п. Модой Mu называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой т„ называется варианта, которая делит пополам вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. с. к = 21 + I1 то те = .v,4 ^ если же число вариант четно (k~ 21), то mr = (X1 + хм )/2 PaXMtWOM варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:
