Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
10.4. Схема независимых испытаний 10.4.1. Формула Бернулли
Определение 9. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события Л.
Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события - нснаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна <7=1 - р. В теории вероятностен представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие Л осуществляется к раз и не осуществится п-к раз.
Вероятность этого сложного события, состоящего из л испытаний, дается формулой Бернулли:
W=C^V* пли PJk)= .о V^. (10.17)
k !(я - к)!
Пример ІІ. Контрольный тест состоит из А вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответов, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на 2, 3 и 4 вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).
Решение. Искомые значения вероятности находится по формуле Бернулли (10,17) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, а с/ = 0.75. Отсюда получаем:
10.4. Схема независимых испытаний 193
Р, (2) = 6^(025)1 -(075)-- =021; Л(3) = ^3(025):' (0,75/ =с;<025)я 0,75 =0,047; ?,(4) = (^(025)* ¦{0,75)" = ^(025)' = (025)1 =0,004
10.4.2. Интегральная теорема Лапласа
Опять предположим, что в каждом из произведенных п испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в и испытаниях, когда k изменяется в заданном интервале значений !<k<m. Соответствующая вероятность обозначают Р„(!, т). Формула для приближенного нычмеленин отой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа.
Теорема 10.5. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в и испытаниях от I до т раз, приближенно равна определенному интегралу;
где a = (l-np)/Jnpq, b = (т- np)/y[npq.
Формула (10.18) применима в случае больших значений н и k. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами для интеграла
поскольку соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица значений функции Ф (х) приведена в приложении. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф (л) для положительных значений верхнего предела интегрирования .г. Более удобно использовать формулу (10.18) в виде формулы Ньютона—Лейбница;
Пример 12. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страхоной юное составляет 2000 лен. ед., верояг-
(10.19)
(10.20)
13 МП
194 Глава 10. Основные положения теории вероятностей
кость страхового случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при страховом случае, составляет 200 тыс. ден. ед. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р. а) 0,9; б) 0,995.
Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при страховых случаях. Будем полагать, что величина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат:
R ={20-0,2A)
Теперь задача состоит в нахождении такого числа N1 чтобы вероятность страхового случая Ртао (к > N) была бы не больше заданной величины І - P1 или, что то же самое, чтобы выполнялось условие
Р10Ш(К<Ь<\Ш0)<1-Р.
Тогда с вероятностью P прибыль компании составит (20-0,2.V) млн руб. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(.г) при и = 10 000. l-Nw т = 10000 по формулам (10.20) дают
V - 4(1
a={N-np ){npq = ——, h = 9550/7.05 = 141L34 7,05
Из табл. 2 находим, что Ф (х) = 0,5 при | х | > 5. Подставляя в приведенное ранее неравенство, получаем:
I 7,05 J В атом случае имеем неравенство
- Ф - < 0,1 или Ф--I ? 0,4.
I 7,05 J { 7,05 ;
По табл. 2 находим, что при значении функции Ф (.иг) аргумента равен 1,28; поскольку функция Ф (.т) является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф (х) переходит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:
N -50
7,05
Отсюда получаем, что N>50 + 9,02, или Ni 60. В этом случае с вероятностью 0,9 Страховой компаі[ни гарантирована прибыль
A =20-0.2-60 =8 млн ден. ед.
Упражнения 195
Проводя для этого случая аналогичные вычисления, получим, что jV>f>9. В этом случае с вероятностью 0.995 компании гарантирована прибыль
/(=20-02-69=62 млн леи. ед.
Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхования может привести к возрастанию прибыли компании. Это есть реализация известного принципа в предпринимательской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не приносят сверхприбылей.
