Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Красс М.С. -> "Математика для экономистов" -> 51

Математика для экономистов - Красс М.С.

Красс М.С. , Чупрынов Математика для экономистов: Учебное пособие — СПб.: Питер, 2005. — 464 c.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка): krass2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 137 >> Следующая


9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 175

2(X) = Ce'7 + I

Теперь, выполняя обратную замену у =±l/Jz, получаем решение исходного нелинейного уравнения:

9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 9.2.1. Основные понятия

Определение 7. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

F(X. у, у\ у") = 0, (9.14)

гдеX— независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно, ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

У" + УУ' -ху3 -siny' =0, у'1 у" + ху' + Xі cm у =0.

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:

у"= fix, у, у'), (9.15)

Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (9.14) называется функция у = <р(х), определенная на некотором интервале (а, Ь), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.

Теорема 9.2 (Теорема Кошл). Пусть функция /(.г, у, у') и ее частные производныен /J непрерывны в некоторой области D пространства переменных (.V, у,у'). Тогда для любой внутренней точки Ма (ха.у0,у'а)

этой области существует единственное решение уравнения (9.15), удовлетворяющее условиям

.г = .г-„; у ^y0, г/' = ы„. (9.16)

Условия (9.16) называются начальными ус.ловия.чи, а задачу отыскания решения уравнения вила (9.15) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

176 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

В общем случае уравнения (9.15) имеет множество решений, поскольку в него входят две неопределенные постоянные, появляющиеся из-за двукратного интегрирования.

9.2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 8. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

у"+рЫу'+дМу =/(х), (9.17)

где. у — искомая функция, р (х), q(x)nf (х) — известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, Ь),

Если /(.V) = O1 то уравнение (9.17) называется линейным однородны.» уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида (9.17) функции р (х) и q (х) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

у" +ру' + qy=J(x),

где р и q - вещественные числа. Далее мы будем иметь дело только с уравнениями такого типа,

9.2.3. Линейное однородное уравнение

Рассмотрим линейное однородное уравнение

У" +РУ' +^ = 0. (9Л8)

где р н q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка два — каков и порядок уравнения.

Будем искать решение уравнения (9.18) в виде у = е**, где k — некоторое число. Подставляя ату функцию в уравнение, получаем;

k V +pkeb +qeh =0.

Сокращая обе части этого равенства на е**, получаем квадратное уравнение относительно к.

Э.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 177

Ir + pk + ц = u. (9.I9)

Уравнение (9.19) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.18),

Вид общего решения уравнения (9.18) существенно зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (9.19). Обозначим эти корни через б, и A1. Справедлива следующая теорема. Теорема 9.3. 1. Если корни характеристического уравнения вещественные и *kj, то общее решение однородного дифференциального уравнения (9.18) имеет вид

S=C1B1" +CVJ1. (9.20)

2. Если корни уравнения (9.20) вещественные и равные (?, = &, = А), то обшее решение уравнения (9.18) имеет вид

у =С,еь +C2V; (9.21)

3. если корни характеристического уравнения комплексные (&, - а + Ы, k7 = а - Ы, где і = J-I — мнимая единица, амЬ— вещественные числа), то общее решение имеет вид

у = е"(С^ cusbx+C7sbbx). (9.22)

где a = -p/2.b = -р~ /4. Во всех трех случаях C1 и С, — произвольные постоянные. Пример &.у" Sy' + Ay =0.

Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид

кг -5/е + .{=0.

Его корни вещественные и различны: = I1 k-, = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

у - С^е* + СгеА'.

Пример 9. у" - 6у' + 9 = 0,

Решение. Составим характеристическое уравнение:

k2-6k + 9 = Q, или (?-3)г =0.

Оно имеет кратный корень k = 3; следовательно, общее решение дал-ного однородного уравнения имеет вид

178 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Пример 10. у" -2у' + 2у =0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение

кг -2? + 2=0

имеет дискриминант, равный -1. и значит, комплексно-сопряженные корни fc, = 1 + i, Ii2 = 1 - і, где і = V^T — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного уравнения дается формулой
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed