Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 175
2(X) = Ce'7 + I
Теперь, выполняя обратную замену у =±l/Jz, получаем решение исходного нелинейного уравнения:
9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 9.2.1. Основные понятия
Определение 7. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
F(X. у, у\ у") = 0, (9.14)
гдеX— независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно, ее первая и вторая производные.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:
У" + УУ' -ху3 -siny' =0, у'1 у" + ху' + Xі cm у =0.
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:
у"= fix, у, у'), (9.15)
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (9.14) называется функция у = <р(х), определенная на некотором интервале (а, Ь), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.
Теорема 9.2 (Теорема Кошл). Пусть функция /(.г, у, у') и ее частные производныен /J непрерывны в некоторой области D пространства переменных (.V, у,у'). Тогда для любой внутренней точки Ма (ха.у0,у'а)
этой области существует единственное решение уравнения (9.15), удовлетворяющее условиям
.г = .г-„; у ^y0, г/' = ы„. (9.16)
Условия (9.16) называются начальными ус.ловия.чи, а задачу отыскания решения уравнения вила (9.15) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
176 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
В общем случае уравнения (9.15) имеет множество решений, поскольку в него входят две неопределенные постоянные, появляющиеся из-за двукратного интегрирования.
9.2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение 8. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
у"+рЫу'+дМу =/(х), (9.17)
где. у — искомая функция, р (х), q(x)nf (х) — известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, Ь),
Если /(.V) = O1 то уравнение (9.17) называется линейным однородны.» уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением.
В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида (9.17) функции р (х) и q (х) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида
у" +ру' + qy=J(x),
где р и q - вещественные числа. Далее мы будем иметь дело только с уравнениями такого типа,
9.2.3. Линейное однородное уравнение
Рассмотрим линейное однородное уравнение
У" +РУ' +^ = 0. (9Л8)
где р н q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка два — каков и порядок уравнения.
Будем искать решение уравнения (9.18) в виде у = е**, где k — некоторое число. Подставляя ату функцию в уравнение, получаем;
k V +pkeb +qeh =0.
Сокращая обе части этого равенства на е**, получаем квадратное уравнение относительно к.
Э.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 177
Ir + pk + ц = u. (9.I9)
Уравнение (9.19) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.18),
Вид общего решения уравнения (9.18) существенно зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (9.19). Обозначим эти корни через б, и A1. Справедлива следующая теорема. Теорема 9.3. 1. Если корни характеристического уравнения вещественные и *kj, то общее решение однородного дифференциального уравнения (9.18) имеет вид
S=C1B1" +CVJ1. (9.20)
2. Если корни уравнения (9.20) вещественные и равные (?, = &, = А), то обшее решение уравнения (9.18) имеет вид
у =С,еь +C2V; (9.21)
3. если корни характеристического уравнения комплексные (&, - а + Ы, k7 = а - Ы, где і = J-I — мнимая единица, амЬ— вещественные числа), то общее решение имеет вид
у = е"(С^ cusbx+C7sbbx). (9.22)
где a = -p/2.b = -р~ /4. Во всех трех случаях C1 и С, — произвольные постоянные. Пример &.у" Sy' + Ay =0.
Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид
кг -5/е + .{=0.
Его корни вещественные и различны: = I1 k-, = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у - С^е* + СгеА'.
Пример 9. у" - 6у' + 9 = 0,
Решение. Составим характеристическое уравнение:
k2-6k + 9 = Q, или (?-3)г =0.
Оно имеет кратный корень k = 3; следовательно, общее решение дал-ного однородного уравнения имеет вид
178 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Пример 10. у" -2у' + 2у =0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
кг -2? + 2=0
имеет дискриминант, равный -1. и значит, комплексно-сопряженные корни fc, = 1 + i, Ii2 = 1 - і, где і = V^T — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного уравнения дается формулой