Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
у = е' (c1 sin T + c1 cos -ї).
9.2.4. Линейные неоднородные уравнения
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
У" + РУ' + <П/ =№>¦ <9-23)
Теорема 9.4. Общее решение неоднородного уравнения (9.23) состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (9.18).
Проблема решения уравнения (9.23) состоит в том, чтобы подобрать частное решение неоднородного уравнения по виду его правой части.
Пример II. у" -5у' + Ay =8.
Решений. Соответствующее однородное уравнение было рассмотрено в примере 8, Исходя из вида правой части, будем искать частное решение данного неоднородного уравнения в виде константы у = С. Подставляя это решение в уравнение, получаем С = 2. Отсюда следует, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид
у(х) = С,е' +Сгеи +2.
Пример 12. у" -6iy' + ft/ = ar.
Решение, Здесь для отыскания частного решения этого неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Будем искать это решение в виде многочлена той же степени, что и правая часть, т. е. у = Ax + В. где А и В — неизвестн ые коэффициенты. Дифференцируя дважды у и подставляя в исходное уравнение, получаем:
-6Л+а4* + 9В = 9ї.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях этого равенства, находим: 9.4 = 9. -6Л + 9В = 0. Отсюда А = \,
9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка 179
В = 2/3, т. е. у =х + 2/3 Соединяя это решение с общим решением соответствующего однородного уравнения (см. пример 9), получаем общее решение неоднородного уравнения:
у(х) = еъ(С{ +cv) + *+2/3.
Примечание 1. В общем случае, если характеристическое уравнение (9.19) содержит нулевой корень кратности 5, а правая часть неоднородного уравнения представляет собой многочлен Pn (х) степени п, то частное решение этого уравнения ищется в виде Qn (х) х\ где Qn (.г) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами, которые определяются вышеуказанным методом.
Примечание 2, В общем случае, если правая часть неоднородного уравнения имеет вид е™, то его частное решение ищется в виде у (х) = х*е™. где s — кратность корня k = г в характеристическом уравнении (9.19).
9.2.5. Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка
Для однозначного определения решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два условия, чтобы найти неопределенные постоянные C1 и Cj. Здесь возможны два случая.
1. Задача Коши (9.16), когда, согласно теореме 9.2, в одной точке хй задаются значения искомой функции и ее производной — два начальных условия (9.16).
2. Краевая задача, когда в конечных точках интервала решения задается но одному условию (два граничных условия), например:
х = х„ у = у,; X = X-J, у = уг. (9.24)
Пример 13. Найти решение уравнения
у" Sy'+ Ay =8, удовлетворяющее краевым условиям
х=0, у = 1; .г= In 2, у = 2. Общее решение этого уравнения было найдено в примере 11:
j/(Jt) -с,с3' + Сгеіл +2. Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые условия. Полу-
180 Глава 9. Элементы теории обыкновенных д>ф(№ренциапьных уравнений
чаем систему линейных уравнении относительно произвольных постоянных С, и C1:
[С, +C2 =-1, 2C1 + 4С? = 0.
Из этой системы находим: C1 = 1 /3, C1 = -4/3. Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (In 2, 2), имеет вид
* 3 3
Упражнения
Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
Э.1. ху' - у = 0- 9.2. уу' + .г = 0. 9.3. х*у' +у= 0. 9.4. у'= у.
9.5. (I \~yv)dx=0 +x*)dy. 9.6. хуу' = 1 -Xі.
9.7. (S + х*)уу' = х(\ +у2). 9.8. уу'+х= I. 9.9. (х+ 1)уг + ху = 0.
Найти частные решения уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям (задача Коїли).
9.10. 2у'4х =у,уя =1 при Л'у =4, Э.П.х-у+ г/3 =0,jy0 =1 при х0 =-4. 9.12.(1+ Ода' =е\у0 =1 при Jc0=O.
9.13. хг/ = -?-,у0 =1 при T0= е. In X
9.H.(i + y2)dx-xydy=G,y:i-\ при .T0=I,
9.15. (2jr + l)rfi/0,^0 =1 при хп Найти общие решения линейных уравнении.
9.16. у'-у =eJ'. 9,17. у' = х + у. 9.18. ху' +у = 3. 9.19. iy' + у =2те~*]. 9.20. у' = .г. 9.21. У + j - cos.г.
Решить уравнения Бернулли.
9.22. у' + ху =ху3,9.23. у'х + у = -ху2. 9.24. у' + у =лту\ 9.25. ху' + 2у =х5уг.
Упражнения 181
Найти общие решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
9.26. у ~5у' + &у =0. 9.27. у" -Зу'+ 2у = 0.
9.28. у" -Ay' ¦+ Ay =0. 9.29. у"-By' +25у = 0.
9Ж.у"-2у' +2у = 0.9.31. у" + Ay' =0.
9.32. г/" і- %' + 2у =0. 9-33. +2у' +5у =0.
9.34.#"-# =0.9.35. + у =0.
Найти общие решения неоднородных уравнений.
9.36. у" +2у' +у =е' 9.37. у" + у' -2у = -А.
9.38. у" + =9г. 9.39. (/" -5у'+6у = Gr.
9Л0.у" + у'-2у = 2еь.9.4і. у" — 5jy' +6у = е3'.
Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющие уело-виям задачи Коши.
