Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Запишем производную у' а ее эквивалентной форме как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной ™. Умножим обе части уравнения (9.4) uz ахи поделим обе dr
его части на J1 (у) (J2 (у) * 0); получаем:
dy
= f,(x)dx. (9.5)
В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а переменная X — только в правую, т. е. переменные разделены. При этом два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную х, а в левой части — через функцию у. Следовательно, их неопределенные интегралы различаются на постоянную велітчттну, т. е., интегрируя слева по переменной у, а справа - но переменной х, получаем:
где С — произвольная постоянная.
Пример 4. ху' - у = 0, найти общее решение этого уравнения.
Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения па ху и умножим их на ^r; получим:
12'
172 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
dy _dx У
Интегрируя обе части этого уравнения (правую по х. а левую — по у), имеем
ІпМ=Іп|т| + Ііі|С|, где С — произвольная постоянная. При потенцировании получаем:
что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у= C1X. Семейство интегральных кривых в данном случае представляет пучок прямых, проходящих через начало координат.
Пример 5. у' = х^ —. Найти частное решение, проходящее через У
точку (0, t).
Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах:
=xdx.
Интегрируя, имеем
j" %dx + C1
где С — произвольная постоянная величина. После интегрирования (интеграл в правой части берется при иомоши замены переменной) имеем уравнением семейства интегральных кривых
7?~м =АЛ-3 + с.
У 2
Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С = 42, т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)
9.1. Уравнения первого порядка 173
9.1.3. Неполные уравнения
Определение 5. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.2) называется неполным, если функция / явно зависит только от одной переменной: либо от .и, либо от у.
1. Пусть функция / зависит только от х. Переписав это уравнение в виде
dy=f(x) dx,
нетрудно убедиться, что его решением является функция
y=l/(x)dx + C.
2. Пусть функция /зависит только от у, т. е. уравнение (9.2) имеет вид
У =/(*)¦ (9-7)
Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребляются в практике математического моделировании в экономике, когда независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения. В этом случае особый интерес представляют гак называемые точки равновесия, или стационарные точки— нули функции/(у), где производная у' = О,
Решение уравнения (9.7) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции
У = Ч>(*) ("ли * = V (у)У-
Ґ dy
/(.V)
= л- + С. (9.8)
9.1.4. Линейные уравнения первого порядка Определение б. Уравнение вида
у' +p{xyy = q{x), (9.9)
где р (х) и а (х) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения. Если «7(.T) = O1 то уравнение (9.9) называется линейным однородным уравнением; если же функция с;(х) не равна тождественно нулю, то уравнение (9.9) называется линейным неоднородным уравнением.
174 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Приведем без вывода общее решение уравнения (9.9);
у(х) = е> С+\с^х)е' ах
(9.І0)
Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у (х). К таковым относится уравнение Берпулт
У'+ P (x)y^q(x) /. (9.11)
где puq — непрерывные функции, а п - некоторое постоянное число. Пусть п # 0, и * 1. Введем новую функцию
z = y[\ (9.12)
тогда получим линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z (л):
z' +0-п)рг =(\-n)q. (9.13)
Рассмотрим примеры решения неоднородных уравнений первого порядка.
Пример 6. у' + X^y = X7,
Решение. Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Последовательное интегрирование в формуле (9.10) при р(х) = х* и
q (х) = X2 ласт j xJ dx = '——, j.r'e'^^ dx = e1'3 + С (этот интеграл беЗ
рется подстановкой ? =хг). Подстановка в формулу (9.10) приводит к формуле решения дифференциального уравнения
(/(.V)=Ce"1''3 +1,
Пример 7. у' + ху = ху3.
Решение. Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при я = 3. Заменой искомой функции г = у~г, согласно (9.12) и (9.13), получим линейное неоднородное уравнение относительно z (х)
- 2.XZ = -2г.
dx
По формуле (9.10) получаем общее решение этого уравнения
