Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
P (Л) = 1 - q1 = 1 - 0,21 = 0,9984.
10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 10.3.1. Сложение вероятностей совместных событий
Определение 7. События Л и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них пе исключает появление другою. Для таких событий справедлива следующая теорема.
Определение 8. Суммой двух событий А и В называют событие C = А+ В, которое состоит в появлсшш либо события Л, либо события В, либо Л и В одновременно.
Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теорема 10.3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:
P(A + В) = P{A) + P(B) - P(AB). (10.10)
Из формулы (10.10) получается ряд следующих частных случаев: 1. Для независимых событий с учетом формулы (10.7):
190 Глава 10. Основные положения теории вероятностей
P(A + B) = P(A) + P(B)- P(A) P(B). (10.11)
1. Для зависимых событии с учетом формулы (10.4):
P(A + В) = Р(А) + P(R) -P(A) P4(B). (10.12)
3. Для несовместных Событий P(AB) = 0, и в атом случае имеем
P(A + B) = P(A) + P(B). (10.13)
Пример 8. Вероятности поражения цели первым и вторым орудиями равны, соответствен по, 0,8 и 0,9. Найти вероятность поражения цели при залпе.
Решение. Поскольку вероятности поражения цели орудиями (события AwB соответственно) не зависят' от результатов стрельбы каждого из напарников, то эти события независимы. Искомая вероятность рассчитывается по формуле (10.11):
P(A+ В) = P(A) + P(B) -P(A)P(В) - 0.8 + 0,9 - 0.72 = 0,98.
В случае полной группы событий A11 A2, .... А„ сумма их вероятностей равна единице:
PM1WM3) і¦... +P(An)= \. (10.14)
10.3.2. Формула полной вероятности
Пусть события B1, В-,, .... Bn несовместны н образуют полную группу, т. е. выполняется равенство (10.14):
P(B1) +P(B2) + ... + P(B ч„) = \.
Пусть также событие А может наступить при условии появления одного из событий В„ причем известны как вероятности P(B1), так и условные вероятности Pn (A) (i = I, 2.....я). В таком случае формула для
вероятности события А определяется следующей теоремой.
Теорема 10.4. Вероятность события А, появление которого возможно лишь при наступлении одного из несовместных событий В„ образующих полную группу (i = 1, 2,.... я), равно сумме попарных произведений каждого нз атих событий на соответствующую условную вероятность появления события А:
P(A) = P(B,) (A) + P(B7) PBi (А) + ... + P(B.,) Pfl_ (А). (10.15)
10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 191
Пример 9. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой — 4 белых п 5 красных, во второй - 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар н переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после зтого из первой урны шар будет белым.
Решение, Переклады ванн с из второй урны в первую белого шара (событие B1) и красного шара (событие В-,) образуют полную группу независимых событий. Их вероятности, соответственно, P(B1 ) = 0,7 и P(B2)= 0,3. Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлений туда белого или красного шара из второй урны равны P^ (А) = 05 и РВ; (А) = 0,4 соответственно. Искомая вероятность находится по формуле (10.15) при п = 2:
P(A) = P(B,) Ря (Л) + P(B1) PSi (А) = 0,7 ¦ 03 + 0>0,4 = 0,47.
10.3.3. Формулы Байеса
Пусть события B1, Въ ... Bn несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появления одного из них. События ?, называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. Пусть произведено испытание и в результате появилось событие А. Тогда оказывается возможным определить условные вероятности гипотез В; по следующим формулам:
P(B1)P11(A)
Рл ) = P(B1) P81 (A) + P(B2) P111 (Л)+...+ P(Bn) PJA) ~ = P(B,) P4| (A)/ J P(B1 ) (A) = P(B1 )PBi (A)/P(A)1 (10.16) 1 = 1, 2..... п.
Формулы (10.16) называются формулами Байеса, по имени их автора. Они позвиляют оценить вероятность гипотезы В, во всех испытаниях, где наступает событие А. Иными словами, зная вероятность P(B1) до проведения испытания, мы можем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.
Пример 10. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляют 0,9 и 0,75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.
Решение, Вероятность toco, что клиент попадает к первому операционисту (событие B1), составляет 0,6, ко второму — 0.4 (событие В-/). Искомая вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) определяется по формулам (10.15) и (10.16):
P(BJP1, (А) 06-09
л 1 P(B1)P (A)+ P(B1)P (Л) 0,60,9 + 0,4 0,75
Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будет обслужено им полностью.
