Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
О й
R -»od
Рис. 7.S. Гвомвтричесхий смысл неообствонного интеграла первого рода
Пример 28. f si п.v dx = hm fsinx dx =-lim cos xL = - hm cos ft
в о
но предел функции cos R при Д -> oo не существует, т. е. данный интеграл расходится.
Пример 29. [е" dx = limf е" dx =-limе\:я =-lime"" + 1 = 1 о о
т. е. данный интеграл сходится.
146 Глава 7, Интегралы
'-ci
Пример 30. [ —, где о. — некоторое положительное число.
Решение. Рассмотрим разные случаи для числа а.
1. При а = 1 для любого R > О имеем:
[ — = limf ^ = lim hurl." = lim In Я - 0 = -ко,
! -4, I ¦*
т. е. конечного предела не существует и несобственный интеграл расходится.
2. При а # 1 для любого R > 0 получаем: dx ,. rdx , У-1Я 1
IUn f ^ = limi-H- =^- = ГШі.Л1--Л^ Jx- je—-J іГ- Jt- 1-а" 1-а V*- /
при а > 1,
і ¦* і
1
o-l
ас при а < L
Следовательно, данный интеграл сходится при а > 1 и расходится при
а< 1.
В приведенных ранее примерах сначала с помощью первообразной вычислялся интеграл но конечному промежутку, а затем осуществлялся переход к пределу. Между тем, CCjTH для функции /(х) существует первообразная F(x) на всем промежутке интегрирования [о, <ю), можно непосредственно применить формулу Ньютона—Лейбница при R -> со, т. е. использовать ее в записи:
Jf(X) dx = F(x)\: = F(*>)-F(a). (13A)
в
Аналогичный вывод справедлив и для несобственных интегралов вида (7.32) и (7.33):
\f(x) dx = F(x)\l¦ J/OO dx = F(x)\Z ¦ (7-35)
-td
Пример 3t. = arctS ^ - =^ = К
Упражнения 147
Упражнения
Вичислить интегралы методом непосредственного интегрирования.
tlx.
X'
7.1. J(x' +2г3 + л l)rf*.7.2. J^r' +¦2V-TfVx" + - +
7.3. ff —^— + , 2 ) dx. 7.4. f (2х- + 3" + Аел) dx. 7.5. J (Vv + l)(x + Vr -1) dr. 7.6. J (sin.г + 3 cos Л") dx. 7.7. ff:г1 +*tfr- ' t -Lid*. 7.8. [ + x* + V ^ + ^ rfr.
4 Vv Vr; J X
7.9. J7.10. f Л.7.11. f I+**\ dx.
1 sin X J COS-x Jx (\+x )
7.12. [tfxdx.l.U. [5vV3^+1^-.7.14. [т'-тИА.
j j x7 + l j x3 +1
Вычислить интегралы методом подстановки,
7.15. Jsinox di-. 7.16. J cos (3x + 5) dx. 7.17. J S-~~ dx.
7.18. fx(2* + l)4 rfr.7.19. f— -.7.20. [_^_.7.21. fVzTTs dx. } J2f3r •!(2 + x)* 1
7.22. f-=?- dx. 7.23. Г tgx dx. 7.24. Г dx. 7.25. f-!—- rfr.
J VT+ 1 J J 1+ 2coSJr J cos' 2x
7.26. Jsin2x cosx dv. 7,27. J + + *' -1 (ix. 7.28. J em" sinx dx.
7.29. f^v.7.30. f—7Я1 \aTCt^X dx. J V>7 J VlT^ J l + .v'
7.32. f V2 + cos5д-sin5x dx:7.33. f ,,2*" 1 dx. J J Xі ~2x +5
Вычистить интегралы методом интегрирования по частям,
7.34. Jv arctgxrtx. 7.35. Jxln.v dx. 7.36. J(Zr2 +x)lnx dx.
7.37.\~ dx. 7.38. J.ve-'^v.7.39. [aba' dx. Vx J
7.40. [xarctg V5r~^l dx. 7.41. Г —^p- dx. 7 Al. dx.
J J Ct)S x J ¦Jx
7.43. Jin2 .г dx. 7.44. J Іп(.тг + 1)^-7.45. j «Гі dr.
Вычислить определенные интеїральї.
7.46. j(3x3 -1)^-.7.47-1-^-.7.48. J(V2x~-^'x) dx.
7.49. j(xJ + -Udx.7.50. Jx(2-x)s dx. 7.51. jxsinxdx.
7.52. J In2 X dx. 7.53. J arctg x dx. 7.54. J tfx.
7.55. Jstnxcos* x dx. 7.56. Jsin4x ax. 7.57. Jx e"' dx.
D DD
Найти площади фигур, ограниченных линиями;
7.58. у = 4-х2, у =0.7.59. у =х\ # = t 7.60. у = 1пх, у = е, _у=0.
7.61. у = Vx1 у =х.7.62. у = л- = 1. * = 3.
7.63. у = tgх, X= 0, X = я/3. 7.64. у = .г», х = 0, х = 2.
7.65. у = sin х, у = Xі - ти-.
Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями.
7.66. у= 1 -X2^ = O, х = 0. 7.67. у = Л X=O1X= 1,у = 0. 7.68.# = 4х-хг,#=х. 7.69. у = Vx -х. 7.70. у = .v2, # = 1,х=0.
7.71.Iz = X1^ = X3.
Вычислить несобственные интегралы в случае их сходимости.
7.72. J ~. 7.73. J <ГГ Лг. 7.74. J [nx dx. 7.75. J —* ах. 7.76. ]хе~х dx. о о о. t х в
7.77, Найти площадь, заключенную между кривой у=хе~л1'г и ее асимптотой при х> 0.
7.78. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox дуги кривой у = е'1 от X = 0 до X=
Упражнения 149
Решить задачи с экономическим содержанием.
7.79. Найти стоимость перевозки Mтонн груза но железной дороге на расстояние L км при условии, что тариф у перевозки одной тонны убывает на а руб. на каждом последующем километре.
7.80. Мощность у потребляемой городом электроэнергии выражается формулой
я, t < 6,
У ~ I o + Asin — (f-6), t >6, 18
где г — текущее время суток. Найти суточное потребление электроэнергии при в = 15 000 кВт. Ь = 12 000 кВт.
Глава 8
Функции нескольких переменных
8.1. Евклидово пространство Ет
8.1.1. Евклидова плоскость и евклидово пространство
Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (л-, у) называется координатной плоскостью, и каждая точка на ней характеризуется нарой своих координат: Af(X гу). Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками M1 (.г,, у,) и Mt (х2, y-i) определено по формуле
P(W1 ,M7) = ^j(X1 -Xj У +(/у, -у-,)2.
