Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Красс М.С. -> "Математика для экономистов" -> 49

Математика для экономистов - Красс М.С.

Красс М.С. , Чупрынов Математика для экономистов: Учебное пособие — СПб.: Питер, 2005. — 464 c.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка): krass2005.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 137 >> Следующая


X-у

SALz=X'2}/ -*V¦8.18.Z =arctg^-.8.19.z = ^.8.20.2 = in(.r + y3).

8.21. г = Sn(VA7+ ).8.22. г=хуё*. 8.23. Z=Jx1 + у1.

8.24. к = ^Jx2 + у1 + г1.

Найти градиент и его модуль для функций в указанных точках.

8.25. г = A -х2-^, в точке M(I, 2).

8.26. Z = (х-у)2, M(O, 3). 8.27. и =х* + у2 - г2, M (\, -1,2).

8.28. u=.t#2, jW(3, -1, 2).

Найти частные производные второго порядка.

8.29. г = ——. 8.30. z = лв*. 8.31. z= In (д + 8.32. z = х3*.

1 + 2у

8.33. z = arctgj^. 8.34. г = ех (sinг/ + xcosy}. Найти экстремумы функций:

8.35.2=хг +у2 + ху-Ах-5у. 8.36. z = ху(1-х-у).

8.13. г =

X

X

168 Глава 8, Функции нескольких переменных

8.37. z =х* -у" — Злту.8.38. z = Зт + бу -Xі — ху + у2.

8.39. Z = Ix- - ху1 + 5х2 + у2. 8.40. z= 2ху - Ax - 2у. 8.41. г = егп (х +¦ у).

8.42. Цены двух видов товаров равны, соответственно, Р| — 32 и Pi = 24 денежные единицы. Определить, при каких количествах х и у Продаж утих товаров прибыль будет максимальной, если функция на-

3

держек имеет вид С = '-хг + 2ху 4 у1.

8.43. В результате эксперимента для пяти значений аргумента.! получены пять значений величины и.

X -2 0 12 4

н 0,5 1 Ip 2 3

Метолом наименьших квадратов найти функциональную зависимость между X и и в виде линейной функции и = ах + Ь.

Глава 9

Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения во многих науках. Исследовании природных процессии п изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

В дифференциальные уравнения неизвестная функция входит вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений исследует случай, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных, — уравнения с частными производными — является более сложной и. представляет особый интерес.

9.1. Уравнения первого порядка

9.1.1. Основные понятия Определение 1. Уравнение вида

F(JT1 у. у') = 0, (9.1)

гдеX — независимая переменная, у и у' — соответственно, неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

12-1122

170 Глава 9. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

(У)У + 2ху = 0, у =.1-2 sin у', (X + y'fn = ЯгсД

В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид

Уравнение (9.2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.

Пример І. (у'У =х2 + у7, откуда получаем два уравнения первого по-

Прнмер 2. ¦Jy7 = X + sin;/, откуда у' =(х + s'my)2.

Определение 2. Релиением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = ф (х), определенная на некотором интервале (а, Ь), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Пример 3. Функция у = X2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' - 2л2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения,

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коти, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 9.1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.2). Если функция /(х, у) н ее частная производная f't (х, у) непрерывны в некоторой области D плоскости Отіу, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (х0, Iy0) этой области существует единственное решение уравенния (9.2), удовлетворяющее условию у =уй при л" = л0.

Условия, которые задают значение функции уи в фиксированной точке ха, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

У' У)

(9.2)

у' —X2 + у2, у' = ху* + (ху), у' = 2т + у.

У\ч =Уо-

(9.3)

9.1 Уравнения первого порядка 171

Задача нахождения решения уравнения (9.2), удовлетворяющего условию (9.3), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (дг0, гу0) области D.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.2) называется функция у = <р (х, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С, — это семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

9.1,2. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 4. Дифференциальное уравнение вида

Af=ZiCi-) /, Cv)1 (9.4)

где Z1 (х) н f-i (у) — непрерывные функции, называется уравнением с. разделяющимися переменными.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed