Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
В сечениях этой поверхности плоскостями, параллельными плоскости Оху, получаются эллипсы.
154 Глава 6. Функции нескольких переменных
Рис 8.3. График функции т* = иЧа» + fit?
Приведем теперь наиболее часто встречающиеся в различных приложениях виды функции нескольких переменных.
Уравнение вида
Ar + By + Cz + D = 0 (8.7)
называется общим уравнением плоскости в системе координат Qxyz. Вектор N = (А, В, С) перпендикулярен плоскости (8.7); он называется нормальным вектором этой плоскости. Если известно, что плоскость проходит через некоторую точку Mn Cr01 i/o, Zp)1 то она может быть задана уравнением
А(х -ха )+В(у~уа) + С(г -г0) = а (8.8)
Пример 3. Составить уравнение плоскости с перпендикулярным вектором N=(i, 2, -1), проходящей через точку М|,(2, 1, 1). Решение. Согласно формуле (8.8), имеем:
1(х-2) + 2(у-1)-1(2-1) = 0, или х+2гу-2-3 = 0.
Функция Кобба — Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Упри затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид
Y=AfC1IJ-*, (8.9)
где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии, 0 < ct < 1 — доля капитала в доходе.
8.2. Понятие функции нескольких переменных 155
8,2.2. Линии уровня
Понятие линии уровня широко используется прежде всего и геодезии, картографии, составлении синопттгческнх карт, а также в описании различных физических полей (температура, давление и пр.).
Определение 5. Линией уровня функции двух переменных z — f (-т, у) называется плоская кривая, получающаяся при пересечении графика этой функции плоскостью, параллельной координатной плоскости Qxy Z = C1 где С — постоянная величина.
Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проецируются на одну плоскость, например, на координатную плоскость Оху; тогда их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией г = /(л, у).
Таким образом, можно сказать, что линии уровня функции z=f(x, у) — это семейство непересекающихся кривых на¦KOOPjIHHaTHoU плоскости Оху, описываемое уравнениями вида
/(X у) = С. (8.10)
Обычно берут арифметическую прогрессию чисел С, с постоянной разностью k\ тогда по взаимному расположению линии уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией г=/(х, у). Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются, а там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Линии уровня функции двух переменных
156 Глава 8. Функции нескольких переменных
Пример 4. Найти линии уровня функции z = дг * у1 -2х — 2у.
Решение. Линии уровня данной функции — это семейство кривых на плоскости Оху, Описываемое уравнением
X2 +у2-2х-2у = С или (.V-I)1' = 2 + С.
Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О, (1. 1) радиуса г = „'2 + С. П оверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится *к\>учер по мере ее удаления от оси, которая определяется уравнениями і-
8.3. Частные производные функции нескольких переменных
8.3.1. Частные производные первого порядка
Пусть функция двух переменных z=f(x, у) определена в некоторой окрестности точки M (х. у) евклидова пространства ?\ Частная производная функции Z = J(х, у) по аргументу х является обыкновенной производной функции одной переменной X при фиксированном лна-
й & 'У ' г> к
ченпи переменной у и обозначается как —, —, z ., / . Аналогичным
дх дх
образом определяется частная прошиодная функции /(х, у) по переменной у в точке М\ обозначения: —, —, z , J' Функция, имеющая
с^ Sy
частные производные, называется дифференцируемой.
Совершенно аналогично определяются частные производные функций трех и более переменных. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данной координате при фиксированных значениях других координат.
Пример 5. z -Xі -2:xji + 2у2.
Решение. Дифференцируем функциюz=J(.V, у) сначала по д-, полагая у фиксированной величиной, потом повторяем згу же процедуру, меняя роли .V и у. Получаем:
dz .... dz
8 3. Частные производные функции несюпьких переменных 157
Пример 7. w = ye'J' + ln(.r^ -2у + г).
Решение. Частные производные этим функции трех переменных выражаются следующими формулами:
ди 'Ix ди м 2
— -. —= (\ + yz)e-—--,
дх X -2у + г ду х ~2у + z
ди і „, 1
uz хг -2//+2
Пример 8. Найти предельные показатели выпуска продукции Упри изменениях одного из факторов: затрат капитала К или величины трудовых ресурсов L — но функции Кобба - Дугласа
Y = AKaLl'a.
Решение. Частные производные этой функции
у; = AaK^V", У; =А(1-а)Ка}:и
лают решение сформулированной выше задачи. Очевидно, чти в функции Кобба — Дугласа показатели степенен а и 1 — а представляют собой, соответственно, козффицнеігш эластичности Ек (Y) и E1 (Y) по каждому из входящих в нее аргументов.
