Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
J X
Каждый нз этих интегралов есть функция, которая не является элементарной, хотя подынтегральные функции в этих интегралах являются элементарными. Они играют большую роль в прикладных науках; так, интеграл 1 является одним из основных в теории вероятностей и статистике.
Интегралы, подобные приведенным ранее, как принято говорить, являются «неберушимися*. Тем не менее, существуют довольно хорошо разработанный аппарат приближения формул с использованием элементарных функций, а также методы приближенных расчетов, позволяющие с любой степенью точности оценивать и вычислять «иеберу-щиесл» интегралы.
7.1.4. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших лтегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.
Пример 5. J(2sinJt: +6 -Зх* )dx =2j sin jc dx + б| tlx - 3j х1 dx = ~ -2 cos .v + 6.г —x3 + C.
Пример 6. ГI—+ sin' —\dx =2[—^—z-dx + f f - - - cos Jt \dx = Чі + х1 2) Ji+*1 4.2 2 J
= 2arctg X+ -х-- shut + C. 2 2
2. Метол подстановки
Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме,
Теорема 7.1. Пусть функция Jt = ф (г) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а X — множество значений этой функции, на котором определена функция /(х). Тогда, если функция /(*) имеет первообразную на множестве X, то на множестве Г справедлива формула
j/(х) dx = JfW(I)W(с) dt. (7.2)
7.1. Неопределенный интеграл 131
Выражение (7.2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема.
Пример 7. jx(x~ 1)" dx.
Решение. Применение разложения бинома Ньютона представляется весьма громоздким. Введем ногзую переменную ( = т-1. Тогда X= t + 1, dx= dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:
Jt(T-I)» dx=\{t+\)t» dt=\(t«+^)Ot=1—S-^ + C
Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:
f T(T-I)11 dx =(x-\f\- + — } + С. J U4 182 J
Пример 8. J
(2-х)
,vi
dx.
Решение. Примем t - 2 - х, тогда т = 2 - t,dx= -dt. Отсюда по формуле (7.2) получаем:
Г—— ffr = 4f2~°3 dt = -\2Cl + of' -I)A =
¦¦(2-.T)-1 3 (3 J
= 4Г2 -12Г1 -6 lnt + l + С = 4(2-т)_ї -12(2-.T)"1 --6 Іп(2-.г)-т + С.
Пример 9. Г ^т ¦.
J COST
Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде
г COST COST
J COS; X ' 1 -5іп5 X
dx.
Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую перемен ную t = sin т. Тогда 1 - sin2 _v = 1 - г2, dt = cos х dx, подстановка в интеграл дает
Г *k _ г dt Yq
+ С=- In 2
t + sin T
1 — siiiT
+ С
= -Mn 2
tg - + -5 1 2 4
+ С.
Здесь использован табличный интеграл X.
132 Глава 7. Интегралы
Пример 10. f —І-^— (п * 1).
J (х2 + 1)"
dt
Решение. Примем (-х2 + 1. тогда dr - 2.T dx иди .vrfr = —.и данный ин-
2
тсірал принимает вид табличного интеграла;
Г * & _ 1 г dt _ 1 f.t,.t, t с , 1__1_ +с
J(t2+))" 2Jr 2{m-I)' 2(h-I)Cv^Ir1
3. Иптсфированпе по частям
Теорема 7.2. Пусть функции и (х) и г.- (.v) определены и дифференцируемы на промежутке Л' и функция и' (х) v (х) имеет первообразную на .этом промежутке. Тогда функция и (х) г/ (.v) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула
Ju(X)V (X) dx = и(х)г(х) - Jv(X)U'(X) dx. (7.3)
С учетом вида дифференциала функции г1' (л) dx = du и и' (л) dx = du равенство (7.3) часто используют в форме
Jw di- -да-J f.' du. (7.-1)
Равенство (7.3) (или (ТА)) называется формулой интегрировании но частям.
В ннтефпровании по частям самым сложным пунктом является выбор в полынтефальном выражении сомножителя (.т) dx= dv. Пол знак дифференциала d можно, в принципе, внести все что угодно. Однако выбор должен быть таким, чтобы интеграл в правой части (7.3) был бы проше исходного. В этом смысле .метод интегрирования по частям позволяет свести интеграл Jh dv к интегралу Jd du, вычисление которого должно быть более простым. Пример 11. J In д dx.
Ршепие. Здесь берем и (х) - Lt д, du = dx, т. е. v = x. По формуле (7.3) получаем:
J lit.v dx - X In v-Ja (In.т)' dx -д- In ,t - J I dx ¦¦- x (In x -1)4 C
В общем случае интегралы вила Jt" In х dt\ где п - \ — целое число, берутся только пнтсфировапием по частям: ы = 1п х, .г" dx ^ dv, т. е.
7 1. Неопределенный интеграл 133
v-x"' '/(п+ 1)' Аналогичным образом берутся и интегралы вида Jjr" arctg т dx.
Пример 12. J.v е' dx.
Решение. В этом случае и =х f' (/д- = (/е> = (/ (?')> тогда по формуле (7.3) имеем:
jxe'dx=xel -\<.e'(x))'dx =хе* -1 е1 dx = е' (.v - I) + С.
Интегралы вида JxVij(/v, где « > 0 — целое число и А*0 —любое
число, берутся л-кратным интегрированием, но частям до исчезновения степени .г и подынтегральной функции; при этом каждый раз под
