Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
В.3.2. Градиент
Рассмотрим функцию трех переменных и =/(х,у, z), дифференцируемую н некоторой точке M (х, у, г).
Определение 6. Градиентом функции и =/(х. у, г) в точке M называется вектор, координаты которого равны, соответственно, частным
ди ди ди производным —, —,— в этом точке. дх ду dz
Для обозначения градиента функции используется символ grad и:
gradH = j^, * Ч (8.U)
[дх By CZ]
Аналогично, в случае функции двух переменных г=/(х, у) имеем:
grat| ,J* M (ЗЛ2)
[дх ду\
Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.
158 Глава 8. Функции нескольких переменных
Для определения геометрического смысла градиента функции «ведем понятие поверхности уровня. Это понятие аналогично понятию линии уровня, рассмотренному в 8.2.2.
Определение 7. Поверхностью уровня функции и =/(х, у. z) называется поверхность, на которой зта функция сохраняет постоянное значение
/(л, у, г) = с = соп51. (8.13)
В курсе математического анализа доказывается, что градиент в данной точке ортогоналеїі к этой поверхности.
В случае функции двух переменных все сказанное ранее остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 9. Найти градиент и его модуль функции г = ———— в точке
.г + у + 1
Hf(O1 1).
Решение. По формуле (8.12) имеем для функции двух переменных
[дх су] [(х + у+[)- (x + y+iyj
При х = 0 ч у = I получаем:
grail г !,о.,,= (1, 0}, lgrad г\ = 1.
Пример 10. Найти поверхности уровня функции
и = х2 -2.г + у* +2у -г.
Решение. Согласно определению поверхности уровня (8.13), имеем X2 - 2х +¦ у2 + 2у - Z = с, откуда z = (х - 1)г + (у + 1 )2 - С, где C= с + 2. Следовательно, поверхностями уровня данной функции являются параболоиды вращения с осью .v= 1, у -¦ -1, параллельной оси 0г, вершины которых лежат в точках с координатами (1, -], -С).
8.3.3. Частные производные высших порядков
Частные производные первого порядка от функции двух и более переменных также представляют собой функции нескольких переменных, и их также можно продифференцировать, т. е. найти частные производные от этих функций. Так, для функции двух переменных вида г=/(Х' у) возможны четыре вида частных производных второго порядка;
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 159
o'z д (дг\ tfz Ъ (Ъг\ (Yz д
дх2 дх\дх) ду дх By[BxJ дх By дх
{.ду )' ду2 ду
дг_ 1%,
Частные производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными производными. Аналогичным образом для функции нескольких неременных определяются частные производные более высоких порядков.
Рассмотрим два примера нахождения частных производных второго порядка для функции двух переменных.
Пример 11. z = Xі -ху1 + X + у + yi.
Решение. Последовательно дифференцируя, получаем:
lUar'-j,1+!, ^ =-2ху + \ + 4у\ дх ду
—т =6-v, —- = -2у. —-— = -2у, —— = 12у* дх7 дх By * дудх ду2
Пример 12. Z = 6і sin2jy.
Решение. По правилам дифференцирования произведения имеем:
dz ,. . п & „ ,, d2z f . — = е sin2i/, — =2е cos 2у, —— = е siniy, дх ду дхг
B2Z B2Z
¦¦ 2ez cos2у. -—— = 2ег cos2fy, ^-j- = -4е* ъ\п2у.
дх ду ду дх By
В рассмотренных примерах смешанные производные оказались равными друг другу, хотя это бывает и не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных даст следующая теорема.
Теорема 8.1. Если функция г=/(х, у) дважды дифференцируема в точке AZ0 (X^y0), то ее смешанные производные в этой точке равны.
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных
8.4.1. Необходимые условия локального экстремума
Пусть функция г= /(х, у) определена на множестве {M]1 a JU0(Jr0, уй) — некоторая точка этого множества.
160 Глава 8. Функции нескольких переменных
Определение 8, Функция z- J(лг,у) имеет н точкеMn локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки Mn. принадлежащая {Af)1 что для любой точки Л/ (.г, у) из этой окрестности выполняется неравенство/(M) < / (M0) (J(M) > J(Mn)).
Для случая функции трех и более переменны* .локальный экстремум определяется аналогично.
Согласии данному определению локального экстремума (минимума или максимума), полное приращение функции Az=J(M)-J(Mq) удовлетворяет одному па условий в окрестности точки Af1-,:
¦ AzH 0, если M0-точка локального максимума;
• AzkO, если Mn - точка локального минимума.
Теперь установим необходимые условия локального экстремума.
Теорема 8.2. Если функция г=/(х. у) имеет и точке Af0(да, уп) локальный экстремум її частные производные первого порядка, то все зги частные производные равны пулю;
—, =0, --, = 0. (8.14)
&¦ IW0 су\Мй
Для случая функции двух и более переменных необходимое условие локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.14): все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке Af0.
