Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
fx е'ах = -fr d(e*) = -x e-'li, + je-'dx =
= -e_l -e'%=-e-1 -e"1 +1 = 1-2«-1.
7.2.6. Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную фафиком непрерывной и положительной функции/(.v) на отрезке \а, Ь], отрезком [а, Ь\ и вертикальными прямыми х= а и х = Ъ (рис. 7.1). Эта фигура называется криво;іиі [ейной трапецией.
Рис. 7.1. Пример криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f (х) на отрезке [а, Ь\:
ь
S = J/(X) dx. (7.27)
в
Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями /(т) TAg(X) соотвественно, непрерывными на отрезке Iя, b\,to площадь S криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками /(х) и g(x):
S = \f(x)dx-\g(x)dx = \[f(x)-g (т)1 dx. (7.28)
142 Глава 7. Интегралы
РиС. 7.2, Площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = In*, осью Ox и прямой х-2
Пример 24. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у- In х> 0, осью 0л" и прямой .V= 2. Решение. Отрезок интегрирования 1 <х< 2 (рис. 7.2), так что искомая площадь, согласно формуле (7.27). раина:
1 2
S = j" In X dx - с Injfj'-J \ dx =
= 2 їм 2-Й; =2 In 2-І.
Пример 25. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = ¦Jx. у = Xі.
Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых, для чего приравняем правые части этих урав-
Рис. 7.3. Площадь фигуры, ограниченной пиниями у = ¦Jx, у - Jf3
нений .Y =V-V. Корни этого уравнения -V, = 0,X1 = 1. Следовательно, площадь фигуры (рис. 7.3), ограниченной сверху функцией у = •Jx и снизу функцией у = .г\ дается определенным интегралом на отрезке [0, 1]:
2. Объем тела вращения
Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси От криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [я, Ь\ функцией /(.г) (рис. 7.4). Объем этого тела вращения определяется формулой
V = к\/г (X) dx.
(7.29)
Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая г через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения:
V = njx* (y)dy,
(7.30)
7.2, Определенный интеграл 143 где [с, d\ — область изменения функции у =/(.г).
Рис. 7.4. Тело вращения
Пример 26. Кривые у = Xs, у = -Jx вращаются вокруг оси Ox
Решение. Искомый объем тела вращения равен разности объемов, образованных вращением криволнЕіейнмх трапеций с верхними границами, соответственно, у = •Jx и у = X2. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых а = 0 и b = 1. По формуле (7.29) получаем:
і і it
V=Hj(Vi7)* dx-xj(x2)2 dx = TtJах-п\х* dx =
О D и й
Пример 27. у = е*, X= 0, X= \, у = 0 — вокруг оси Oy.
Решение. Выражаем х через у: х= Ln у; промежуток интегрирования |1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.5) ранен разности объемов соответственно цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = 1а у. Согласно формуле (7.30), получаем:
144 Глава 7. Интегралы
Рне. 7.5. Определение объема тела вращения па данным примерз 27
г Ґ
V = пе - TtJ In2 у dy = теє - ти/ in2 г/|' + jiJ 2 ln# =
= 2ny In^)J-TtJ2 (Л/ = 2пе-2ле + 2тс = 2п. і
7.2,7. Несобственные интегралы
При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция ограничена на конечном отрезке интегрирования. Данное ранее определение определенного интеграла не имеет смысла при невыполнении хотя бы одного из этих условии. Нельзя разбить бесконечный интервал на конечное число отрезков конечной длины; при неограниченной функции интегральная сумма не имеет предела. Тем не менее, возможно обобщить понятие определенного интеграла и на эти случаи, с чем и связано понятие несобственного интеграла.
Определение 4. Пусть функция /(.v) определена на промежутке [а, +оо) и интегрируема на любом отрезке [a, R\, R>0, так что интеграл
j/(x)dx
имеет смысл. Предел этого интеграла при R —> оо называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (или несобственным интегралом первого рода):
]f (х) ах ^YmJf (X) ах. (7.31)
7.2. Определенный интеграл 145
В случае если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл (7.31) сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой па бескопечиаи промежутке \а, «>); если предел н (7.31) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-*», Ь\:
J/(x)e*r= 1іт}/(х)<*г.
(7.32)
Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов (7.31) и (7-32)
J/(*)Ar = J/(x)d!r + J/(x),
(7.33)
где с — люоое число.
Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода: это площадь бесконечной области (рис. 7.6), ограниченной сиерху неотрицательной функций /(:*'), снизу — осью Ох, слева — прямой д= д,
