Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично вводится и понятие евклидова пространства, В этом случае каждая точка координатного пространства характеризуется тройкой чисел, и тогда расстояние между двумя любыми точками пространства Л/, (х\, уи Zx) и M2 (х2, у*. г2) определяется формулой
P(M,, M,) = VU,-X7)2 +(у,-угУ +(Zx-Z1Y. (8-1)
Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство определяются способом измерения расстояния между любыми своими точками.
8.1.2. Понятие m-мерного евклидова пространства
Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т действительных чисел (v,, .v5, X7,.....-О называется т-мериым
координатным пространством Ат.
Каждую упорядоченную совокупность (.v|p хъхт) называют тачкой этюго пространства и обозначают одной буквой М. При этом числа хи x-j,х„ называются координатами точки М, чти символически записывается следующим образом: M (х,, хг.....хт).
8.1. Евклидово пространство Е" 151
Определение 3. Координатное пространство Ат называется т-мерпым евклидовым пространством E'", если между двумя любыми точками M'(х\, х\..... x'm)i\ М" (х", .г*, х"т ) пространства А'" определено расстояние р (M', М") по формуле
P(M1, М") = Jtf -X^+(Xi-*;)1 + ...+<-<, -О'¦ (8.2)
Очевидно, что введенные понятия w-мерного координатного пространства Ат и m-мерного евклидова пространства Ет являются обобщениями понятий, соответственно, координатных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.
8.1.3. Множества точек евклидова пространства Ет
Будем обозначать символом {M) некоторое множество точек m-мерного пространства Е". Рассмотрим ряд примеров множеств в этом пространстве.
1. Множество [M) всевозможных точек, координаты Jc1, х-,, .... хт которых удовлетворяют неравенству
(.т, -х?)7 +(.r2+ -..+<*„ -О2 S R\ (8,3)
называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке Af0
(¦<¦ 4.....х1).
Этот пример является /«-мерным обобщением, соответственно, круга на евклидовой плоскости и шара в трехмерном евклидовом пространстве.
Неравенство (8.3) можно переписать с учетом (8,2) в виде
P(M1 MU)<R. (8.4)
В случае строгого неравенства р (М, AY0) < R множество [M) называется открытым т-мерным шаром. Часто это множество также называют R-окрестпостъю точки Mn. В случае (8.4), если неравенство не строгое, множество {M] называется замкнутый т-мерным шаром. Эти понятия переносятся на случай любой размерности при т > 2.
2. Множество {M) точек таких, что расстояние от каждой из них до некоторой точки M0 удовлетворяет равенству р (Л/. Af0) = R, называется т-мернай сферой радиуса R с центром а точке Л/0,
Аналогия: для плоскости — окружность (_v - X0)'1 + (у - у^У = R2 радиуса R с центром в точке Мй (х0, уп), для пространства — сфера
152 Глава S. Функции нескольких переменных
(jf - ха)2 + (у - уъУ + (z- Z11Y = R2 радиуса R с центром в точке Mg (х^
8.2. Понятие функции нескольких переменных
Введем понятие функции нескольких переменных.
Определение 4. Пусть каждой точке M из множества точек {M) евклидова пространства Ет по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число м из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множестве {M) задана функция u-f(M). При этим множества {M) и U называются, соответственно, областью определения (задания) и областью изменения функции / (M).
Как известно, функция одной переменной у-/(х) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {JWn} функции z= fix, уУ представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости О.гту (рис. НА). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве J?3. Аналогичным образом функция от т переменных
« = /О-'.. *3..... -r™ )i
определенная на множестве {M) евклидова пространства Ет, представляет собой гиперповерхность в евклидовом пространстве Етг'.
z = fix. у)
О
У
x
Рис. 8.1. Область, определения функции двух переменных
8.2. Понятие функции нескольких переменных 153
8.2.1. Некоторые виды функций нескольких переменных
PiiccMUTpiiM примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.
Пример 1. 2 =т.т2 -і- у*.
Решение. Это - поверхность в евклидовом простри нет не Ел. Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху. Область значений этой функции - промежуток [0, то). Данная функция представляет собой параболоид вращения (рис. 8.2): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями 0.Х2 и Oyz получаются, соответственно, параболы г=дг н г=\/.
Пример 2,
Решение. Это поверхность в евклидовом пространстве E3. Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства E1 или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат О (О, О, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части (рис. 8.3):
Рис. 8.2. График функции i-jr*tj*
