Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ds% = 2 dV^ (1)
ft=і 4
Если в римановом пространстве координатами служат х1, Xі, ..., хп, то для точек этого пространства ух, . . . , уш будут определенными функциями от яг1, . . . , хп
Уa = У* (Z1.....«") (а = 1, 2.....т) (2)
Подставляя эти функции в (1), мы получим фундаментальную форму для риманова пространства
ds2 = gm (аг1, . . . , хп) dx4 dx* (3)
»'Де т
....."-2? <*> I 35 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕНТОРА
393
Возьмем теперь в пространстве Римана контравариантный вектор А в некоторой точке М. Проведем через эту точку геодезическую линию в направлении вектора A1t понимая под этим, что в точке M величины dxllds, где dx' суть бесконечно-малые приращения координат при перемещении вдоль геодезической линии, пропорциональны величинам Ai, так что
^1 = eiS- (5)
Вектор drf/ds мы назовем единичным касательным вектором к геодезической линии. Для него мы имеем, согласно (3)
dx1 dx" .
^ik ~dT ~ds~ ~ (в)
Величину же а мы назовем длиной вектора Ai; для нее мы, в силу предыдущего равенства, будем иметь выражение
a2 = g^A'A" (7)
Построим теперь в эвклидовом /и-мерном пространстве в точке M вектора а, длина которого равна а и который имеет направление касатель ной к выше рассмотренной геодезической линии в точке М. Проекции этого вектора на оси координат будут, очевидно, равны числам
dy
а" — а ~dT («=1.....т) (8)
где dya суть приращения координат уа, соответствующие приращениям dx1 координат ж1. Следовательно,
dyx - ctc* * дхг
и, значит,
или окончательно
ду dx1
ал = а —;---
дх1 dt
(9)
дх
Итак, всякий контравариантный вектор A1 в пространстве Римана Hn может быть представлен геометрически в пространстве Эвклидова Em, в которое вложено пространство Римана, вектором а, имеющим ту же самую длину, что и вектор Ai, и направленным по касательной геодезической линии, проходящей через точку M в направлении вектора Аг.
Весьма важно отметить, что при т > п всякому вектору Ai соответствует свой вектор а, но обратное не всегда имеет место. Не для всякого вектора а найдется соответствующий вектор Ai. Это вполне понятно аналитически, ибо вектор а определяется т. числами, в то время как вектор А задается п числами, и ясно, что систему (9) т уравнений с n < m неизвестными A1, . . . , An не всегда можно решить относительно этих неизвестных. Это так же ясно и геометрически в простейшем случае п = 2, т = 3. когда мы имеем дело с поверхностью в пространстве. В этом 394
элементы общей теоі'ии тензоров
Гл. IV
случае очевидно, что те векторы а в пространстве Ез, которые соответстч вуют векторам A1 в пространстве Римана Ag, лежат в касательной плоскости к поверхности в точке Af. Всякому же вектору а, выходящему из этой плоскости, очевидно, уже не может соответствовать никакой вектор А1. По аналогии мы можем говорить и в общем случае об эвклидовом подпространстве J1n, касающемся пространства і?„ в точке М, понимая под Tn геометрическое место всех прямых в пространстве E7n, проходящих через точку M и касающихся в этой точке какой-либо из кривых, целиком принадлежащих An.
2. Теперь мы дадим, следуя итальянскому ученому Т. Леви-Чивита, геометрическое определение параллельного переноса вектора, прячем сначала для ясности рассмотрим случай пространства йг, вложенного в иными словами, рассмотрим тот случай, когда в трехмерном пространстве рассматривается поверхность
Возьмем на этой поверхности 5 две бесконечно-близкие точки M и M' и рассмотрим в точке M контравариантный вектор А'. Последний может быть представлен в пространстве вектором а, касательным к поверхности S в точке М. Перенесем теперь вектор а параллельно самому себе в точку Af'. Ясно, что, вообще говоря, он не будет лежать в касательной плоскости к поверхности S в точке M' и, следовательно, ему не будет соответствовать никакой контравариантный вектор в пространстве Яг.
Основная идея Леви-Чивита заключается в том, что он, перенеся вектор а в точку M' параллельно самому себе аз точки М, проектирует его затем на касательную плоскость к поверхности S в точке M'. В результате получается вектор а', лежащий уже в касательной плоскости к поверхности S в точке Af', а поэтому можно отыскать такой контравариантный вектор А" в точке M', который геометрически представляется в пространстве вектором а'. По определению, результатом параллельного перенесения вектора A1 из точки M в точку M' является вектор А'1. Таким образом, вектор Ai в точке M и вектор А" в бесконечно-близкой точке M' риманова пространства Ri можно условиться считать равными векторами.
Совершенно аналогичное определение правила параллельного переноса вектора можно дать и для случая любого риманова пространства Rn. Пусть в точке M задан контравариантный вектор А1. Рассмотрим бесконечно-близкую точку пространства M' и построим в этой точке вектор А'* следующим образом. Пусть Em — то яг-мерное эвклидово пространство (т ^л), в которое можно вложить Я„; построим в этом пространстве в точке M вектор а с составляющими аа, определяющимися по формулам (9); этот вектор является геометрическим изображением вектора At; перенесем затем вектор а параллельно самому себе в точку M'. Иными словами, рассмотрим тот же самый вектор а, с теми же составляющими, но только приложенный к точке М'\ затем спроектируем этот вектор на касательное эвклидово подпространство Tm которое лежит в Em и касается I 35 параллельный перенос веНтора
