Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
SAi _ дАа fo* fa? 3?"
а? ~ IhF Sxt дхк ' дх'дх"
индексы ink местами, получим
= ЗЛа дха. gxu | й%а _dA? fatifaa 3?°
Sxi дх® дх" Sxi ^r ' " дх' дх" ~~ дх* дх" дх* * Sxi дх*
Вычитая эту формулу из предыдущей, найдем
дх* дх4 ^ дх? ах* ' дх* дх* { J'
а это соотношение выражает как раз тензорный характер выражения (13). Складывая тензоры (12) и (13), мы получим новый тензор
= ^-AJt (15)
главной частью которого являются величины SAJdxk и который можно назвать ковариантной производной ковариантного вектора. Таким образом, мы вновь пришли к выражениям (6), но только иным путем.
6. Рассмотрим теперь правила действий с ковариантными производными. При этом может быть полезно еще раз напомнить те действия, которыми мы пользовались до сих пор. 390
элементы общей теории тензоров
Гл. і V
Прежде всего под V ЯР' гДе Ф всть скалярная функция, мы условились понимать ковариантный вектор:
VaCP = S (16)
Далее мы имеем основное определение ковариантной производной от тензора, которое для случая тензоров третьего ранга выражается формулой (10):
Vx A^. = - Atf TS* - A^. Цх + Aa^ Г?л (17)
Наконец, для случая, когда произведение тензора на несколько векторов дает скаляр, мы имели правило дифференцирования такого произведения, выражающееся формулами вида (9).
Теперь мы установим правило дифференцирования произведения тензоров в самом общем виде. А именно покажем, что дифференцирование произведения тензоров совершается по тем же правилам, что и в обыкновенном анализе.
Как всегда, доказательство будем проводить на тензорах частного вида.
Покажем, например, что ковариантная производная от произведения равна
Vx(4«.??) = V^a -I- ^Vx Bl (18)
Применяем формулу (17)
Vx (Aa ??.) = д{А;В/} - A11 El Гїл - А„В-,Л It, + АЖ Г;»=
OX
= (^i - А*Г?х ) В?. + Aa ( - 2?? + ВДЬ) =
= Bl'VxAa + AaS7xBl
Аналогичное доказательство применяется и в более сложных случаях. Докажем далее, что производная тензора, сокращенного по нескольким значкам, может бить получена сокращением по этим значкам производной исходного тензора. Доказательство проведем на следующем частном случае; пусть
В'авгл= Vx^r (19)
Тогда B'a^'x дается формулой (17); положим в этой формуле у = ?, тогда третий и четвертый члены в правой части этой формулы сократятся, ибо Ао/.Г&л и отличаются только значками суммирования р. и З,
которые можно поменять местами. Итак
ЯЛ- S
В'ЛК * - Atf Г?* = Vi**! (20)
ITTO и требовалось доказать. тензорная производная вектора и тензора
391
Применяя только что доказанную теорему к произведению нескольких тензоров, сокращенному по некоторым индексам, получим правило дифференцирования, обобщающее известное уже нам правило, выражаемое формулой (9). Так, например, мы имеем формулу
Vx (лЖ) = HW^:;: + AZvxrt С2І>
7. Последнее правило, которое мы рассмотрим, касается дифференцирования фундаментальных тензоров. А именно мы покажем, что кова-риантные производные всех трех фундаментальных тензоров равна кулю.
Прежде всего рассмотрим тензор gik. Применение основной формулы (17) дает
Vxffw =9^r- - giv- Tfx
Ox
и в силу формул (28) и (30) предыдущего параграфа
VxsrIH = -рг — rJf. «х -- Tj, JfX= о (22)
OX
Точно так же, помня, что
Jt (1 при !=A
№ при Іфк найдем
Vxg? =g- № + A = - Г& + Г?, = 0 (23)
дх
Наконец, применяя к тензору
g\ ^gihg*' (24)
правило дифференцирования произведения, найдем
Vx?j = g^Vxgi* + gm'V xgw
Отсюда, в силу (22) и (23),
gi*Vxgw = О
Умножая это равенство на gLr и принимая во внимание (24), получим
SJVxgfti'= Vxg" = 0 Итак, мы получили основные равенства
Vxgis=O, Vxfjr = O, Vxgift=O (25)
выражающие, что при тензорном дифференцировании фундаментальные тензоры ведут себя как постоянные величина.
8. Введем теперь понятие контравариантной производной от вектора или тензора, определив ее формулами вида
VMi = g^Vx^i (26)
V1M^ = g^VxA,;*. (27) 392
элементы общей теории тензоров
Гл. IV
таким образом, для получения контравариантной производной тензора надо сначала образовать ковариаптную производную этого тензора и затем поднять тот значок X, который соответствует операции дифференцирования.
Принимая во внимание доказанное в предыдущем пункте свойство фундаментальных тензоров и только что данное определение контравариантной производной, мы можем без всякого труда написать составляющие различного рода производной от какого-либо тензора. Так, например, У Vi-Aa^ мы имеем следующие 8 типов составляющих:
V*4*. V^f« Vx-4aS, VkA%, Vx^a0
В самом деле, докажем, например, что
V^ = gVYV,-4*v
Действительно, в силу формул (25), Wv-A'l = V11 (Aa^y) = а в силу формулы (27)
VxAZ = ^Vv-Al = gVV^-r (28)
§ 35. Параллельный перенос вектора
1. Рассмотрим теперь затронутый в предыдущем параграфе вопрос о параллельном переносе вектора в римановом пространстве н о геометрическом истолковании тензорного дифференцирования.
С этой целью нам придется вернуться к изложенному в начале этой главы представлению о римановом пространстве п измерений, как о подпространстве в эвклидовом пространстве равного или большего числа измерений т. При этом предположим, что мы можем ввести в этом эвклидовом пространстве прямолинейные прямоугольные оси координат yi, г/2....... таким образом, что элемент длины будет выражаться формулой
