Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
div а = V^i = V4 - gf*V*ai = Vi (Г*<*к) (12)
Это выражение можно представить в другой форме, если воспользоваться для ковариантной производной
v(^= ?+.»га (із)
полагая в этой формуле к = і, суммируя по і и пользуясь формулой (31) § 33
'«-»Vi? <">
получим
' 1 а("У?)
Vi" "P-rVfa ** ~ Yi дх'
и, следовательно,
diva= » °ЖЫ1= » dJYlsSl. (15>
Yi о** yg ftt* v
В ортогональных координатах, пользуясь физическими составляющими, в силу формул (6) и (7) получим
*v а=ОТ (?* + 4?* + «И (16)
выражение, которое не отличается от формулы (30) § 18.
Применяя формулы (15) и (16) к вектору а = grad /, т. е. полагая в этих формулах
¦ З/ і іь df
Ox дх"
найдем выражение для оператора Лапласа в любых криволинейных координатах
V/ = divgrad/ = ^A(T^^) (17)
и в частности в ортогональных координатах
г7/_ < fa (H*u3 a/\ д /H3H1 д/\ д /H1H1 df \\ ня, v/ J^tfaH3 1&:Ч Hi дхУ ^ дх * \ Ht дх1) 3*4 H3 дх*Д К >
26* 404
ЭЛяМяНТЫ ОБЩвя ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Гл. IV'
5. Дадим теперь выражение для составляющих вихря вектора а. В декартовых координатах для этих составляющих мы имеем выражения вида
^^=?-% <19>
Однако, если мы, заменяя обыкновенные производные тензорными, составим выражения вида
Vi«» — VitOi
то мы получим, очевидно, ковариантный тензор второго ранга, причем легко вычислить, что его составляющими являются
_ да*. „х до. ч Ba1. да. #A_V
V^- VftOi - ^ - - ^ + = _» _ (20)
Нетрудно, однако, из этого тензора образовать вектор; для этого нужно только воспользоваться контравариантным тензором введенным нами в п. 5 § 32.
Все составляющие этого тензора равны нулю, кроме
(Д2Э = ?281 = ?312 = -L, е1®3 = е213 = е3*1 = — 4= (21)
Vg Vs
В самом деле, образуем контравариантный вектор
Vi«* (22)
составляющими которого являются
. _ 1 /9а»__2 _ J_ _OOjX « _ 1 /0а3_0аЛ
aW' ~ V^W a*v' ~ y^W1 aW ( 1
В декартовых координатах g = 1 и эти выражения совпадают с выражениями (19), поэтому ясно, что в любых криволинейных координатах эти формулы дают контравариантные составляющие вектора rot a. Ko-вариантные составляющие будут, по общему правилу, вычисляться по формуле
»4 = Si^ (24)
так что
Гі = Yl (Ш — Ш*) + Sa (Ш ~ Ш) + Sis (? — 1?} (25)
Наконец, в физических составляющих для случая ортогональных координат получим в силу формул (7) и (23):
И» l-skf-^-^} <26>
и две аналогичные формулы для двух остальных осей. Эти формулы совпадают с формулами (34) § 18. нИкоторые применения
405
6. Рассмотрим теперь расхождение тензора второго ранга П. Обозначим составляющие этого тензора в декартовых координатах yi, г/а, уз через PnitIfrI физические составляющие этого тензора в криволинейных ортогональных координатах з^, я?, я? через pik и, наконец, контрава-риантные составляющие его через Pi*.
Тогда аналогично формулам (7) мы будем иметь соотношения
Pu= HiHkPut = g—Рш (27)
В самом деле, по общим формулам преобразования составляющих тензора мы имеем, что
„і* _ дх1 а®*
- Wa W?
в силу формул (44) § 32 мы можем написать для случая ортогональных координат
ptk = н\н~ pWa cos У*> cos
где п{ — направления нормалей к координатным поверхностям или, что то же, направления касательных к координатным линиям. Но в силу формул (14) § 22
PyaV& cos (іц, уа) cos К, у&) = pik
а тогда из предыдущей формулы вытечет дервая из формул (27). Вторая иа этих формул получается простым переходом от контравариантных составляющих к ковариантным.
В случае прямолинейных прямоугольных осей координат расхождение тензора П было определено в § 29, формула (4), как вектор с составляющими
9pViVk
В любых криволинейных координатах за расхождение тензора необходимо, следовательно, взять вектор
Qk = Vi Pa (28)
Общее выражение для ковариантной производной от тензора
^lPik = + PxTil + PikTil
приводит к следующему значению для Qk
дРік
Vi^ =
и в силу формулы (14)
Qk = ViPik = ^r + PuVixi + PiyTb дх
Vl/»»= + + PttIb
дх1 Vs дх1 406
элементы общей теории тензоров
Гл. IV
или окончательно
v/ 1
Vg дх
Если тензор Pik антисимметричный, то при суммировании по і и X последний член, очевидно, пропадает и остается
_ * іШрИ (зо)
Vg дх1 >
Если тензор Р№ симметричный, то удобнее воспользоваться смешанными компонентами P* (в этом случае P1* — Рк\, так что точек можно не ставить). Так как
я Pft
V^ = -3--да+ -PiM1
дх1
то в силу формулы (14)
HD» _ аРі і рХГ* _ р*рХ _ SPi , 1 Э(У7) рХ р*гр _
1_ jykf-
Vg дх*
PltrTrtik
Но в силу симметричности тензора P и в силу формулы (30) § 33 мы имеем
PkrTr. „ = 1 (Р*т, is + PrTr. №) = I (Гг< tt + г,. іг) = у ^kr ^f-
В результате получаем окончательную формулу для расхождения симметричного тензора
Заметим, что в случае произвольного тензора Pxk необходимо различать между собою Vi-P'* я Vi-PlfrI представляющие собою различные векторы.
7. Рассмотрим еще два примера преобразования векторных выражений к любым криволинейным координатам.
В качестве первого примера произведем преобразование основных уравнений гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости плотности р, находящейся под действием силы F (F дает силу, действующую на единицу массы). Основное уравнение механики сплошной среды, выведенное в § 29, имеет вид
